4.2.1 等差数列的概念（第1课时 等差数列的概念、通项公式）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2 等差数列 我们知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性、奇偶性等)后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型. 类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列人手. 4.2.1 等差数列的概念 第一课时 (等差数列的概念、通项公式) 一、探究新知 请看下面几个问题中的数列. ①北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为： 9，18，27，36，45，54，63，72，81. 一、探究新知 ②S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是: 38，40，42，44，46，48. ③测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位:°C)依次为: 25，24，23，22, 21. ④某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为: ar, ar-br, ar-2br，ar-3br, ... 如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是 每月归还本金=贷款总额＋贷款期总月数， 利息部分=(贷款总额-已归还本金累计额)×月利率. 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A、B两地旅游人数的变化规律. 类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗? 一、探究新知 对于①，我们发现 18=9+9，27=18+9，···，81=72+9. 换一种写法，就是 18-9=9，27-18=9，···，81-72=9. 如果用{an }表示数列①，那么有 a2-a1=9，a3-a2=9，···，a9-a8=9. 改变表达方式使数列的取值规律更突出了. 这表明，数列①有这样的取值规律: 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.数列②～④也有这样的取值规律. 二、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 数列①、②、③、④的公差各为多少？ (1)公差d是由后项减前项所得，不能用前项减后项来求； (2)对于数列{an}，若an－an－1＝d(d是与n无关的数或字母)， n≥2，则此数列是等差数列，d为公差； (3)若d＝0，则该数列为常数列． 注意 三、等差中项 由三个数a、A、b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b. 在日常生活中，人们常常用到等差数列.例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级(如前面例子中的上衣尺码).你能举出一些例子吗? 四、等差数列的通项公式 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗? an+1-an=d就是等差数列{an)的递推公式. 设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d.根据等差数列的定义，可得 an+1-an=d, 所以 a2-a1=d，a3-a2=d, a4-a3=d,··· 于是 a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，··· 归纳可得 an=a1+(n-1)d(n≥2). 当n=1时，上式为a1=a1+(1-1)d=a1. 这就是说，上式当n=1时 也成立. 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 四、等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关? 由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，所以当d≠0时，等差数列{an