专题 数列通项的求法 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列通项的求法 专题精讲 数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系 数列的通项公式是研究数列性质最基本、最重要的一种表达形式 注： ① 有的数列没有通项公式，如：3，π，e，6；②有的数列有多个通项公式 下面我们就谈一谈数列通项公式的几种常用求法： 目录 CONTENTS 公式法 02 累加法 03 累乘法 04 01 观察法 构造法 05 (1).待定系数法 (3).取倒数法 (2).同除以指数法 06 作差法 07 作商法 08 周期型数列 ①an+1=pan+q ②an+1=pan+An+B ③an+1=pan+An2+Bn+C 一、观察法 先符号、统一结构、纵横观察 （1）已知数列 试写出其一个通项公式：_______________. “归九法” 二、公式法 1、等差、等比数列的通项公式 2、 2.设数列{an}的前n项和Sn=n2-n+1, 则an= ______. 三、累加法 形如 的递推式： 这n-1个式子累加得 累加法： 例2. 求数列通项常用方法—3.累加法 解： 变式1. 解： 求数列通项常用方法—3.累加法 解： 变式2. 求数列通项常用方法—3.累加法 四、累乘法 形如 的递推式 五、构造法 1、形如 an+1=pan+q 一、待定系数法 将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)， 【例4】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an. 构造新的辅助数列{an+t} 是首项为 a1+t， ，求出 an+t ，再进一步求通项 an 比较系数可知t＝ 公比为p的等比数列， 《同步导练》32页例3（1） 【例3】　（1）已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，求an. 一、待定系数法 1、形如 an+1=pan+q 求数列通项常用方法—5.构造法 求数列通项常用方法—5.构造法 2、形如 an+1=pan+An+B 一、待定系数法 分析：设an+1+k(n+1)+b = p(an+kn+b), 构造等比数列{an+kn+b} 《同步导练》33页自主培优例1 一、待定系数法 2、形如 an+1=pan+An+B 求数列通项常用方法—5.构造法 一、待定系数法 3、形如 an+1=pan+An2+Bn+C 分析：设an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z = p(an+xn2+yn+z), 构造等比数列{an+xn2+yn+z} 求数列通项常用方法—5.构造法 二、同除以指数法 1、形如 an+1=pan+qn （原递推式两边同除以qn+1或pn+1) 求数列通项常用方法—5.构造法 【例7】 2、形如 an+1=pan+Aqn+B 分析：设an+1+xqn+1+y=p(an+xqn+y)，构造等比数列{an+xqn+y} 待定系数法，构造等比数列 构造等差数列，累加法求解 求数列通项常用方法—5.构造法 求数列通项常用方法—5.构造法 求数列通项常用方法—5.构造法 形如 ， 三、取倒数法 也可以写成下面的形式： pan+1+qanan+1=pan 六、作差法 例7. 解： 两式相减得 题目中有 Sn 求 an，必用作差法. 解： ①－②得， 求数列通项常用方法—6.作差法 ① ② 求数列通项常用方法—6.作差法 变式2. 解法1： ①－②，得 ① ② 变式2. 解法2： 小结：题目中有 Sn 求 an，必用作差法. 谁简单化掉谁 求数列通项常用方法—6.作差法 24 课本P40 解： 求数列通项常用方法—6.作差法 变式3.(全国II，2015) 解： 求数列通项常用方法—6.作差法 七、作商法 形如 a1·a2· a3·……·an=f(n) 例8. ① ② ①÷②得， 解： 变式. 解： 求数列通项常用方法—7.作商法 八、周期型数列 例10. 解： 变式1. 解： 求数列通项常用方法—8.周期型数列 变式2. 解： 再见 解：设 ， 对比系数得 解得 故 例5.已知数列 满足 ，且 ，求通项 解：设 ， 对比系数得 解得 故 以2为公比， 为首项的等比数列。 故 即 例6.已知数列 满足 ，且 ，求通项 例8. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式 例8. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式 解：设 ， 对比系数得 解得 故 以2为公比， 为首项的等比数列。 故 即 变式1.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1， 且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式． ∵Sn = 2an+1,∴Sn+1 = 2 an+1