4.2.1 等差数列的概念（第2课时 等差数列的性质及应用）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 第2课时 等差数列的性质 人教A版(2019) 选择性必修第二册 复习回顾 1. 定义: 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。 2. 通项公式: an=a1+(n-1)d 4. 图象:直线上均匀排开的一群离散的点. 3. 等差中项:a, A , b成等差数列 2A=a+b. {an}为等差数列 5. 等差数列的判断 an-an-1=d (n≥2)或an+1-an=d (n∈N*). 或2an+1=an+an+2或an=pn + q (p、q是常数) 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少. 经验表明,每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年,超过10年 ,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废. 请确定d的范围. 解: 设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an}. 由已知条件,得an=an-1-d (n≥2), ∴数列{an}是一个公差为-d的等差数列,且a1=220-d . ∴ an=a1+(n-1)(-d)=220-nd. 由题意,得a10 ≥ 220 5%=11,a11 < 220 5%=11, 等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列,那么 性质1 an =am+(n-m)d (n>m) 证明:∵ an =a1+(n-1)d ① am =a1+(m-1)d ② 由①-②得, an - am =(n-m)d ∴ an =am+(n-m)d 变形 3. 已知{an}是一个等差数列,请在下表中的空格处填入适当的数. a1 a3 a5 a7 d -7 8 2 -6.5 0.5 15.5 3.75 15 -11 -24 课本P15 《同步导练》9页 “初试身手” 第3题和例2 3.在等差数列{an}中,a3=2,d=6.5,求a7? 例2.(1)在等差数列{an}中,已知a4=7,a10=25,求通项公式an; (2)已知数列{an}为等差数列,a3=,a7=,求a15的值。 性质2 已知数列{an}是等差数列,p,q,s,t∈N*, 若p+q=s+t,则ap+aq=as+at 证明:设数列{an}的公差为d,则 as+at=a1+(s-1)d+a1+(t-1)d =2a1+(s+t-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d =2a1+(p+q-2)d, 因为p+q=s+t,所以 ap+aq=as+at. 特别地,若m+n=2k,则am+an=2ak 课本P17 例5 思考 例5是等差数列的一条性质,图4.2-2是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗? n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 图4.2-2 4. 已知在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7= 12. 求a4. 课本P15 变式1. 在等差数列中,是方程的根, 则_. 由已知得. 又数列为等差数列, ∴. 答案:3 解: 变式2.已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70, 求a1+a9的值; 解:由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9, 所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70, 于是a5=14, 故a1+a9=2a5=28. 练习 作业 5. 在7和21中插入3个数,使这5个数成等差数列. 课本P15 例4 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 例4 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. (2)[解法一]数列的各项依次是数列的第1,5,9,13,…项,这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列,则. 令解得 所以,是数列的第8项. [解法二]∵令, 解得所以,是数列的第8项. 等差数列的性质 性质3 已知等差数列{an}, {bn},公差分别为d , d1 ,则有 ①下标成等差数列的项ak, ak+m, ak+2m,…组成等差数列,公差是_; ② 数列{ an+ }( , 是常数)是等差数列,公差是_; ③数列