§2.1.1 两角和与差的余弦公式 教学设计——2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

§2.1.1 《两角和与差的正余弦公式》 教学设计 课 题 2.1.1 两角和与差的余弦公式 课 型 新授课 课程目标与 学习目标 1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用. 2. 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式. 3. 会用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的求值、化简. 学情分析 1、知识分析：必修1第五章学习了《三角函数》，必修2第一章刚学习了《平面向量》的知识，学生对这两章知识尚记忆深刻，为本章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备；本节课又为本章的起始课，在讲解时还要注意对学生单元教学的引导。但“两角差的余弦公式”中所涉及的用向量的数量积推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成. 2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习；从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达. 3、学习习惯与态度：所带班级属于重点班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点 通过探究得到两角差的余弦公式 教学难点 两次探究过程的学生思维的引导 核心素养 数学抽象 逻辑推理 数学运算 教法、学法 讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合 知识准备 知识准备 教学用具 平面向量的数量积、诱导公式 教 学 流 程 1、 创设情景，引出本单元教学 师：同学们好，大家来看这幅图，你能用一个词来形容你看到了什么吗？ 生：星辰大海 师：很好，在数学中有一个分支的起源就是研究星辰大海的，同学们知道是什么？ 生：航海，天文… 师：大家说的很接近了，这个分支就是三角学，三角学的起源就是航海和天文学。那么三角学的知识我们接触过没有？ 生：接触过，三角形，三角函数，特殊角… 师：非常好，上学期我们一起学习了三角函数，我们利用诱导公式把任意角都转化成特殊角求解。特殊角有哪些？ 生：0。，30。，45。，60。，90。… 2、 创设生活情景，引入新课 师：最近刚刚结束的冬奥会大家都看了吗？（看了）我也认真的看了，我不仅为我国运动健儿的拼搏精神所感动，我还从中发现了一些数学小知识。（展示图片） 师：大家从我展示的比赛场地的数据中发现了什么相关知识？ 生1：我发现不同的比赛场地中都有我们数学中的角度，但是老师我发现这些角都不是特殊角。 师：非常好，在我们的生活中遇到的角度不一定是我们学过的特殊角，那么今天开始，我们这个单元就要开始学习如何把这些不特殊的角转化成特殊角求解——《三角恒等变换》，这节课我们就来学习第一节《两角和与差的的余弦公式》. 三、探究新知，共同学习 师：首先大家来思考： cos15°=?等于 生： cos15°= cos（45°－ 30°） 师： 吗？ cos（45°－ 30°）=cos45°－cos 30° 生：不相等. 师：为什么？ 生2： 师：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗? 生：不能. 师：我们大胆设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系。先填写下表中的数据，你有什么发现？并猜想出cos(α－β)＝?(小组讨论活动) 1. sin60° 1. sin120° 1. cos60° 1. cos120° 1. cos(120°－60°) 1. sin30° 1. sin60° 1. cos30° 1. cos60° 1. cos(60°－30°) 猜想：结论：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 师：那么如何证明这个结论？（分组活动：6人一组，小组讨论，由小组代表总结并阐述本组的讨论结果，小组间互评，补充纠正）. 探究：借助向量知识来推导公式 探究途径：提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。（怎样构造角？由于我们要求两角差的余弦，涉及三角函数问题，故可考虑运用单位圆中的向量知识和角的余弦线来证明。） 如图，A、B分别为角α、β