专题5.20 应用二元一次方程组——里程碑上的数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.20 应用二元一次方程组——里程碑上的数 （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】里程碑上的数字问题 两位数：十位数字×10+个位数字. 三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字. 四位数：千位数字+百位数字×100+十位数字×10+个位数字. ...... 例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x，而不可表示为yx，因为yx表示y乘x，应注意区别. 特别提醒： 1.在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位上的数字乘100，千位上的数字乘1000. 2.若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的数位的关系. 【考点目录】 【考点1】数字问题； 【考点2】几何问题； 【考点3】图表信息题； 【考点4】开放问题； 【考点5】其他问题. 【考点一】数字问题 【例1】（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ （1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ （2）第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；（2）第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． （1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2022下·重庆江津·七年级校联考阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲数为x，乙数为y．根据题意，列出二元一次方程组即可求解． 解：设甲数为x，乙数为y．根据题意，得方程组 ， 故选A． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 【变式2】（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ． 【答案】26 【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为一位正整数，即可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 解：设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意得：， ∴. 又∵x,y均为一位正整数， ∴， ∴， 即出门时看到的步数是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【考点二】几何问题 【例2】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）（1）一个正方形的边长增加，面积就增加，求原正方形的边长； （2）已知一个长方形，若它的长增加，宽减少，则面积保持不变；若它的长减少，宽增加，则面积仍保持不变． 求这个长方形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用： （1）设原正方形的边长为，根据“正方形的边长增加，面积就增加”，列出方程，即可求解； （2）设长方形原来的长为，宽为，根据“它的长增加，宽减少，则面积保持不变；若它的长减少，宽增加，则面积仍保持不变”，列出方程组，即可求解． （1）解：设原正方形的边长为， ， 解得． 答：原正方形的边长为； （2）解：设长方形原来的长为，宽为，依题意，得 ， 整理得： ， 解得： ， 所以这个长方形的面积． 答：这个长方形的面积是． 【举一反三】 【变式1】（2021上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，周长为的大长方形被分成个全等的小长方形，则每个小长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题