专题5.16 应用二元一次方程组——增收节支（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.16 应用二元一次方程组——增收节支 （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】列二元一次方程组解决增收节支问题 （1） 增长（降低）率问题：增长（降低）率=增（减）量/基数×100%，增长（减少）后的数量=基数 ×【1±增长（降低）率】. （2） 销售问题：销售额=售价×销量，总利润=总销售额-总成本=单件的利润×销量=（售价-进价）× 销量，利润率=利润/进价×100%，打折后的价格=原价×折数÷10 （3） 储蓄问题：利息=本金×利率×期数.本息和=本金+利息. 注意：在计算过程中要保持单位的统一. 【特别提醒】 1.对于增长（降低）率问题，审题时一定要看清是增长还是降低，而且要看准在哪一个量的基础上增长或降低，不要颠倒. 2.在储蓄问题中注意利率要根据期数而定，期数是按月算的，利率就用月利率，期数是按年算的，利率就用年利率. 【考点目录】 【考点1】方案问题； 【考点2】行程问题； 【考点3】工程问题； 【考点4】销售与利润问题. 【考点一】方案问题 【例1】（2022上·广东深圳·八年级校考期末）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨．现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：： （1）辆型车和辆型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】（1）辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨；（2）该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车． 【分析】（1）设辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨，由“用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合、均为非负整数，即可得出各租车方案． （1）解：设辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨， 由题意得：， 解得：， 答：辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨； （2）由题意得：， ∴， 又∵、均为非负整数， ∴或或 ，∴该物流公司共有种租车方案， 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【举一反三】 【变式1】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设刘老师购买x本甲种碳素笔，本乙种碳素笔，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种． 解：设刘老师购买本甲种碳素笔，本乙种碳素笔， 根据题意得：， 是正整数， ∴或或 ∴刘老师购买碳素笔的方案共有3种． 故选：B． 【变式2】（2023下·山东烟台·七年级统考期中）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 ． 【答案】 【分析】设1艘大船可载人，1艘小船可载人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出的值即可． 解：设1艘大船可载人，1艘小船可载人， 依题意得：， ①②得：， ， 即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26， 故答案为：． 【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点二】行程问题 【例2】（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， （1）求小车和摩托车的速度． （2）求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 【