1.2 矩形的性质与判定 第1课时课件2023-2024学年北师大版九年级上册数学

1.2 矩形的性质与判定 第1课时 第一章 特殊平行四边形 1.理解矩形的定义,知道矩形是特殊的平行四边形. 2.掌握矩形和直角三角形的性质定理，会进行有关的计算与证明． 任务一：掌握矩形和直角三角形的性质定理 活动1：请观察下面平行四边形的变化，完成下列问题. (1)当平行四边形一个角是直角时停止，这个图形有何特点?它还是平行四边形吗？请举出身边类似图形的例子． (2)平行四边形一定是矩形吗?矩形一定是平行四边形吗?由此你能得出什么结论,请说一说. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是矩形. 活动2：动手做一做. (1)任意度量身边一个矩形物体的每个角的度数，如数学书本、课桌等. (2)拿出一张A4纸，分别画出它的两条对角线，再分别量出两条对角线的长度. 通过(1)(2)的操作说说你的猜想，并加以验证. 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 证明猜想1： 四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证：∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠ADC,∠BCD=∠BAD, AB∥DC. ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC=90°, ∴∠BCD=90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°. 定理：矩形的四个角都是直角. 如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 证明猜想2： 定理：矩形的对角线相等. 思考 如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么大小关系？由此你能得出什么结论？ 由矩形的性质可得DO＝BO＝ BD,AC＝BD， ∴BO＝ AC. 由此可得，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半. 练一练 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_______.　 活动：解决下列问题，简要归纳所用到的性质或方法. (1)在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O， ∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长. (2)已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点， DF⊥AE于点F，若AE=BC．求证：CE＝EF 图2 任务二：能运用矩形和直角三角形的性质定理解决相关问题 (1)在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长. 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分， ∴OA=OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. (2)已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，若AE=BC． 求证：CE＝EF． 图2 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC,且AD=BC． ∴∠1=∠2,AE=AD． ∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°． 在△ABE与△DFA中， ∠B=∠DFA， AE=AD， ∠1=∠2， ∴△ABE≌△DFA（AAS）,∴AF=BE,∴EF=EC． 练一练 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD=3，CE=5，求CD的长.　 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5， ∵AD=3， ∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2， ∴DE=AE-AD=5-3=2， ∴AE=CE=5， 即52=CD2+22， ∴CD= . 1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是( ) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD D 2.矩形的两条对角线的一个夹角为60°，一条对角线与短边的和是15，则对角线长为 ，短边长为 . 10 5 3.如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE=BE． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠D=∠C=90°， ∵E为CD边上的中点， ∴DE=CE， ∴△A