专题09 作辅助线构造相似三角形-2023-2024学年九年级数学下册提优专题及提优测试卷（人教版）

专题9 作辅助线构造相似三角形（原卷版） 类型一 做平行线构造相似 1．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD可以解决问题（如图1）．请你帮助社团求出AB的长； （2）请参考（1）中思路，解决如下问题： 如图2，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝3，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长． 2．（2021秋•大观区期中）（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，求的值． 小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题， 小明的解法是： 解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图1﹣1）． ∵CH∥BE，D是BC的中点，∴． ∵CH∥FE，，∴． ∴． 小英加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2）； 小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）； 请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答． （2）①如图2﹣1，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，则　 （用含a，b的式子表示）． ②如图2﹣2，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，，，连接AD与BE相交于点F，则　 （用含a、b、m、n的式子表示）． （3）如图3，△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，，，连接AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，则△ABF面积是 　 　，四边形CDFE的面积是 　 ． 3．（2019•乐山）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F． （1）如图1，当EF∥BC时，求证：1； （2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 4．梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》中．该定理的内容是：如图①，直线DE与△ABC的三条边AC，AB，BC（或其延长线）分别交于点D，E，F，则有••1． （1）请证明该定理； （2）若BC＝BF，CD＝2AD，求的值； （3）如图②，连接AF，若△ACF是等边三角形，且AD＝BC，，求S△BEF+S△ABC的最小值． 类型二 做其他辅助线构造辅助线 5．（2022•伊川县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AEBC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（　　） A． B．3 C．2 D．4 7．（鞍山中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠A＝2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE＝4，则BE•DE＝　 　． 8．（2017•内江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AMAB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是　　． 9．（2020•宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连接CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是　 ． 10．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD是AC边的高，求证：BC2＝2CA•CD．（提示：过点A作AE⊥BC于点E） 11．如图，D为等边△ABC的BC边上一点，已知BD＝1，CD＝2，CH⊥AD于点H，连接BH．试证：∠BHD＝60°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 作辅助线构造相似三角形（解析版） 类型一 做平行线构造相似 1．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC