专题08 相似三角形的复杂模型（一线三等角、半角、十字架、手拉手）-2023-2024学年九年级数学下册提优专题及提优测试卷（人教版）

专题8 相似三角形的复杂模型（一线三等角、半角、十字架、手拉手）（原卷版） 类型一 一线三等角模型（K型） 1．（2023•曹县一模）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．16 2．（2021•海珠区校级模拟）如图，已知点A、B分别在反比例函数y（x＞0），y（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为　 　． 3．（2020•吉安模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝12，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，求CQ的最大值． 类型二 十字架模型 4．（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案． 如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD． ∴∠BCE+∠DCE＝90°， ∵CE⊥DF， ∴∠COD＝90°． ∴∠CDF+∠DCE＝90°． ∴∠CDF＝∠BCE， ∴△CBE≌△DFC． ∴CE＝DF． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究． 【问题探究】 如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想． 【知识迁移】 如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则　 　． 【拓展应用】 如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值． 类型三 半角模型 5．（2014秋•锦江区校级月考）如图，点A、B、C、D在同一直线上，△PBC为等边三角形，∠APD＝120°，AB＝4，CD＝9，则BC＝　 　． 6．（2022秋•潜江月考）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PD．下列结论：①PB＝PD；②△EDF的周长为4；③PQ＝PA+CQ； ④若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为22，其中所有正确结论的序号是 　 　． 类型四 “手拉手模型”旋转相似 7．（2023•偃师市模拟）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D． 8．（2019•宜宾）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N．下列结论正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）． ①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC＝180°；④ 9．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　） ①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°； A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④ 10．（2022秋•和平区校级月考）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察证明． 如图1，当α＝60°时 ①猜想BD与CP的数量关系为 　，并说明理由． ②直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 　 　． （2）类比猜想 如图2，当α＝90°时，请直接写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数． （3）解决问题 当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 相似三角形的复杂模型（一线三等角、半角、十字架、手拉手）（解析版） 类型一 一线三等角模型（K型） 1．（2023•曹县一模）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．16 【思路引领】证明△BEF∽△CFD，求得CF，设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，由勾股定理列出方程即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°， ∵将