第4讲 整数拆分问题1（讲义）人教版五年级下册数学

第4讲 整数拆分问题 专题概述 整数拆分，顾名思义就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是一种自然数的拆分。在面临整数拆分问题时我们常会遇到以下几种题型： (1)要求将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积最大(或最小)的问题； (2)要求将一个自然数拆成几个连续自然数的和，或几个等差连续自然数的和的问题； (3)已知几个自然数，要求组成一个特定自然数的所有情况的问题； (4)以上几种情形的综合运用。 典型例题1 把19分成几个自然数(可以相同)的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少? 分析 要使乘积尽可能大，把19分成的几个自然数中，3要尽量多且不能有1,所以应把19分成5个3及1个4的和。最大乘积为3×3×3×3×3×4=972。 解 19=3+3+3+3+3+4,所以最大乘积为3×3×3×3×3×4=972。 思维训练1 1.把7拆分成几个自然数相加的形式(0除外),共有多少种不同的拆分方法? 2. 三个自然数的积为40,这三个数分别为多少时，它们的和最小?最小为多少? 典型例题2 将364拆分成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5.第1个数与第6个数分别是几? 分析 这7个数中第4个数是中间数，它是这7个数的平均数，即364÷7=52。因为相邻两个数的差都是5,所以这7个数是37,42,47,52,57,62,67。故第1个数是37,第6个数是62。 解 第1个数是37,第6个数是62。 思维训练2 1. 将15本书分成数量不同的4叠，共有多少种不同的分法? 2. 把70拆分成11个不同的非零自然数之和，这样的拆分方式一共有多少种? 典型例题3 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为11个连续自然数之和，又可以表示为12个连续自然数之和，还可以表示为13个连续自然数之和。 分析 11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍，12个连续自然数之和是其中第6 个和第7个数的和的6倍，13个连续自然数之和是其中第7个数的13倍。这样，可以表示为 11个，12个，13个连续自然数之和的数必是11,6和13的倍数，故最小的这样的数是[11,6, 13]=858。对858进行拆分可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进”的方法。例如，858÷11=78,则11个连续的自然数为73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83。所以858是满足条件的最小自然数。 解 这个数是11,6和13的倍数，最小为[11,6,13]=858。 答：858是满足条件的最小自然数。 思维训练3 1. 将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组? 2. 把456表示成若干个连续自然数的和，要求写出所有的表达式。(如9可以有两种表达形式：9=4+5=2+3+4) 典型例题4 有面值为1分，2分，5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同的支付方法? 分 析 要支付2角3分，最多只能使用4枚5分币。因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。当使用3枚5分币时，5×3=15(分),23 — 15=8(分),所以使用2分币最多4枚，最少2枚 解 当使用3枚5分币时： 23=15+(2+2+2+2), 23=15+(2+2+2+1+1), 23=15+(2+2+1+1+1+1), 共有3种支付方法。 当使用4枚5分币时，5×4=20(分),23-20=3(分),所以最多使用1枚2分币，或不使用。 23=20+(2+1), 23=20+(1+1+1), 共有2种支付方法 。 所以共有2 + 3 = 5 (种)支付方法 。 答：总共有5种不同的支付方法 。 思维训练4 1.电视台要播放一部3 0集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连 续剧最多可以播几天? 2. 把3 7拆分成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆分方法?将每一种拆分方法拆出的质数相乘，得到的乘积中，哪个最小? 竞赛强化 1.将1 0分成若干个自然数的和(允许有相同的) ,使得这些自然数的乘积最大，这个乘积是( )。 A. 27 B. 36 C.32 D.25 2 . 3个孩子分2 0个苹果，每人至少一个，要求每人分得的苹果个数是整数，分配方案有( ) 种 。 A.64 B.380 C. 171 D.190 3.将1 2分成若干个自然数的和(不允许有相同的) ,使得这些自然数的乘积最大，这个乘积是( )。 4. 将1 4拆成3个自