5.7 三角函数的应用（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.7三角函数的应用 问题导入 　　现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么我们就可以考虑借助三角函数来描述. 地球自转引起的昼夜交替变化、地球公转引起的四季交替变化、月亮圆缺、潮汐变化、物体做匀速圆周运动时的位置变化、物体做简谐运动时的位移变化、交变电流变化等，都可用三角函数刻画。 新知探索 t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0 问题1.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． 振子的振动具有循环往复的特点，其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用函数 y＝Asin(ωt＋φ) 来刻画． 根据已知数据作出散点图如右： 新知探索 由数据表和散点图可知y＝Asin(ωt＋φ) 中， 振子振动时位移的最大值为 20 mm， ∴A＝20； 振子振动的周期为 0.6 s，即＝0.6，解得ω＝； 再由初始状态(t＝0)振子的位移为-20，可得sinφ＝-1， ∴φ＝－． ∴振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)． 　　 简谐运动：物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动. 在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)，x∈[0,＋∞) 表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的振幅、周期和频率等物理量都与这个解析式中的常数有关： A是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； T＝是简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； f＝＝是简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx＋φ 称为相位；x＝0 时的相位φ称为初相． 新知探索 新知探索 问题2.图①是某次实验测得的交变电流i(单位：A)随时间t (单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图②． (1)求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式； 【解析】（1）电流i随时间t的变化规律可用i＝Asin(ωt＋φ) 刻画。 由图②可知，电流最大值为5A， ∴A＝5； 电流变化的周期为s，频率为50Hz，即＝50，解得ω＝100π； 由初始状态(t＝0)的电流约为4.33A，可得sinφ＝0.866， ∴φ约为． ∴电流i随时间t变化的函数解析式是i＝5sin，t∈[0,+∞)． （2）当 t＝0，，，， 时，求电流i． （2）当t＝0时，i＝； 当t＝ 时，i＝5； 当t＝ 时，i＝0； 当 t＝ 时，i＝－5； 当 t＝ 时，i＝0． 【例1】（2023·全国·高一课时练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，周期为， 则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为 ， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：A． 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 练习 【对点训练1】（2023·全国·高一课时练习）若电流I（单位：A）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为______，当时的电流为______A． 【解析】由图象，可知该函数的最小正周期是， 设，由函数的最小正周期是， 可知， 故时的电流是0A． 故答案为：；0． 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 练习 【例2】（2023·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元． （1）求y关于θ的函数关系式． （2）应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小． 【解析】（1）由题可知， ，其中 （2）由（1）可得 因为，所以， 设，则，即， 因为，所以，解得，， 此时，，满足， 故当时，总施工费用y达到最小，所以 题型二：三角函数模型的实际应用 练习 【对点训练2】（2023·辽宁丹东·高