4.2.2等差数列的前n项和公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 1 学习目标 2 CONTENTS 等差数列前n项和公式 3 4 CONTENTS 5 6 CONTENTS 7 CONTENTS 例题巩固 8 9 10 CONTENTS 11 CONTENTS 12 13 练习提升 C 14 CONTENTS A 15 A 16 CONTENTS C 17 C 18 CONTENTS A 19 20 CONTENTS AC 21 ABD 22 CONTENTS 23 4 24 CONTENTS 25 CONTENTS 120 26 27 CONTENTS 28 小结: 回顾一下本节课学习了哪些新知识呢? 1.等差数列的前n项和公式 2.等差数列的前n项和公式的应用 29 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程,掌握等差数列五个量,n,d,,之间的关系. 2.掌握等差数列前n项和的性质及其应用. 3.能熟练应用公式解决数学及实际问题,并体会方程思想,提升数学思维的逻辑能力与应用能力. 对于数列,设, 当n是偶数时,有, 于是有 . 当n是奇数时,有 . 所以,对任意正整数n,都有. 对公式作变形,可得,它相当于两个相加,而结果变成n个相加. 可以得到,, 将两式相加,可得 所以. 对于等差数列,因为,由上述方法,用两种方式表示: ,① .② ①+②得 . 由此得到等差数列的前n项和公式. 对于等差数列,利用公式,只要已知等差数列的首项和末项,就可以求得前n项和. 另外,如果已知首项和公差,那么这个等差数列就完全确定了,所以也可以用和来表示. 把等差数列的通项公式代入公式,可得. 例1 已知数列是等差数列. (1)若,,求; (2)若,,求; (3)若,,,求n. 解:(1)因为,, 根据公式,可得. (2)因为,,所以. 根据公式, 可得. (3)把,,代入, 得. 整理得,解得,或(舍去). 所以. 例2 已知一个等差数列前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 解:由题意知,. 把它们代入公式, 得,解得. 所以由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列,其前n项和为. 根据题意,数列是一个公差为2的等差数列,且. 由,可得, 因此第1排应安排21个座位. 例3 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位. 例4 已知等差数列的前n项和为,若,公差,则是否存在最大值?若存在,求的最大值及取得最大值时n的值;若不存在,请说明理由. 法1:由,得,所以是递减数列. 又由, 可知当时,;当时,;当时,. 所以,当或6时,最大. 因为, 所以的最大值为30. 法2:因为, 所以当n取与最接近的整数即5或6时,最大,最大值为30. 1.设等差数列的前n项和为,且,则( ) A.45 B.50 C.60 D.80 解析:因为是等差数列,,所以,即,则.故选C. 解析:由且,得,则.故选A. 2.在各项均不为零的等差数列中,若,则( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 3.设是等差数列的前n项和,若,则( ) A. B. C. D. 解析:由等差数列的求和公式可得,,化简得,所以.故选A. 4.已知在等差数列中,,,,若,且,则k的值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 解析:由等差中项得,解得,所以公差,则,解得(舍去) 或.故选C. 5.记等差数列的前n项和为,若,则( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:由题知,即, ,.故选C. 6.我国古代数学名著《算法统宗》中说:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意为:“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分,要顺从父母,兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中,第8个孩子分到的棉花为( ) A.184斤 B.176斤 C.65斤 D.60斤 解析:依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列,设该等差数列为,公差为d,前n项和为,第一个孩子所得棉花斤数为,则由题意得,,解得,则. 故选A. 7.(多选)设等差数列的前n项和为,若,,则( ) A. B. C. D. 解析:因为等差数列的前n项和为,,, 所以,解得,,则,.故选AC. 8.(多选)是等差数列,公差为d,前n项和为,若,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 解析:B:由可得,故B正确; A:由可得,由可得,所以,故等差数列是递减数列,即,故A正