第三章 圆—— 圆的有关性质 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级下册

九下 圆的有关性质 一、圆 知识点1.圆的定义 如图，在平面内线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段OA叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”,读作“圆O”. 【对应练习】 1.下列条件中，能确定一个圆的是（ ） A.已知圆心O B.已知半径r=5 cm C.已知圆心O,半径r=5 cm D.已知点A为圆上一点 2.如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠C=∠D=90°,求证：A,B,C,D四点在同一个圆上. 知识点2.圆的有关概念 1.弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦.如图中弦AC （圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦） 2.直径：经过圆心的弦，如图中直径AB 3.弧(半圆、劣弧、优弧) (1)弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示； (2)半圆：圆上任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；如图中半圆AB; (3)劣弧：小于半圆的弧(一般用两个字母表示)叫做劣弧；如图中,; (4)优弧：大于半圆的弧(一般用三个字母表示)叫做优弧.如图中. （弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是优弧也不是劣弧。） 4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，则半径相等的两个圆是等圆，反之，同 圆或等圆的半径相等。（等圆只和半径大小有关，和圆心位置无关） 5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 （相等的弧不一定是等弧） 【对应练习】 3.下列说法正确的是（ ） A.长度相等的两条弧是等弧 B.弦是直径 C.面积相等的两个圆是等圆 D.过圆心的线段是直径 4.如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是圆上的点， 是弦，其中优弧为 ,劣弧为 。 5.A,B是半径为4 cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是 。 【答案】 1.C 2.证明：如解图，取AB的中点0,以点0为圆心，OA长为半径作圆，连接0C,OD, ∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠ACB=∠ADB=90°, ∴DO,CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线， ∴OA=OB=0C=OD, ∴A,B,C,D四点在同一个圆上. 3.C 4.BD,, （答案不唯一） 5.0﹤AB≦8 二、垂直于弦的直径 知识点1.圆的对称性 1.中心对称性 圆是中心对称图形，对称中心是圆心.圆具有旋转不变性，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合. 2.轴对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 【对应练习】 1.下列说法中，不正确的是( ) A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆的每一条直径都是它的对称轴 C.圆有无数条对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 知识点2.垂径定理及推论 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 【对应练习】 2.如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点M. (1)若AB=10,AM=8,求弦CD的长； (2)若⊙O的半径为5,CD=8,求BM的长. 2. 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直手弦，并且平分弦所对的两条弧 【对应练习】 3.如图，⊙0的半径为5,点C是弦AB的中点，且OC=3,则弦AB的长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 4.如图，AB是⊙O的直径，且AB平分弦CD,若∠COD=80°, ∠OCD= °,∠AOD= °. 3.垂径定理中的“知二推三”: 由垂径定理及其推论可知，如果具备： ①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦(不是直径),④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，其中任意满足两个结论，便可推出其他三个结论，简称“知二推三”. 【对应练习】 5.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,垂足为E,DF⊥AC且经过圆心0,垂足为F. (1)求证：AF=CE; (2)若AF=3,求⊙O的半径. 【答案】 1.B 2.解：(1)如解图，连接0C, ∵AB=10,AM=8,∴OA=OC=5∴OM=3, ∴在Rt△OCM中，由勾股定理，得CM==4. ∵AB⊥CD,∴CD=2CM=8; (2)∵AB⊥CD,AB为⊙O的直径，∴CM=CD=4 又∵0C=OB=5,∴OM===3,∴BM=OB-OM=2. 3.B 4.50,140 5.证明：∵AB⊥CD,DF⊥AC,∴∠AED=∠OFA=90°,DE=CE, 在△DOE和△AOF中，∴△DOE≌△AOF(AAS),∴DE=AF.∵DE=CE