5.2 导数在研究函数中的作用 (题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教A版2019）

5.2 导数在研究函数中的作用 1. 理解导数与函数的单调性的关系. 2. 掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3. 能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 4. 会利用导数证明一些简单的不等式问题. 5. 掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法． 6. 了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 7. 掌握函数极值的判定及求法. 8. 掌握函数在某一点取得极值的条件． 9. 能根据极值点与极值的情况求参数范围. 10. 会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题． 11. 理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 12. 会求某闭区间上函数的最值． 13. 理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围. 14. 能利用导数解决一些简单的恒成立问题． 课标解读： 1.通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题. 2.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题. 3.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题. 5.2 导数在研究函数中的作用 1 一、主干知识 2 考点1：函数的单调性与导函数的关系 2 考点2：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 2 考点3：函数的单调性与其导数正负的关系 3 考点4：函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 3 考点5：函数极值的求法与步骤 3 考点6：函数的最大(小)值与导数 4 考点7：用导数求函数f(x)最值的基本方法 4 【常用结论总结】 4 二、分类题型 5 题型一 函数的单调性 5 命题点1　用导数判断或证明已知函数的单调性 5 命题点2　用导数判断或证明已知函数的单调区间 17 命题点3　函数与导函数图像之间的关系 25 命题点4　含参数分类讨论函数的单调区间 32 题型二 函数的极值与最大（小）值 40 命题点1　函数极值 40 命题点2　函数（导函数）图像与极值的关系辨析 52 命题点3　由导数求函数最值 62 命题点4　函数单调性、极值与最值的综合运用 70 命题点5　根据极值点求参数 96 命题点6　函数（导函数）的极值与最值 106 三、分层训练：课堂知识巩固 125 一、主干知识 考点1：函数的单调性与导函数的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减． 考点2：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． 考点3：函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． ②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. 考点4：函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 1.函数的极值点和极值 (1)极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 考点5：函数极值的求法与步骤 (1)求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f