第3讲 数的整除问题（讲义）-五年级下册数学人教版

第 3 讲 数的整除问题 专题概述 在已经学习了整除的性质和能被特殊数字整除的数的特征的基础上，数的整除问题的主要题型有以下几类： (1)根据数的整除特征，填写漏掉的数字； (2)通过整除的性质进行逻辑推理； (3)数的整除问题在日常生活中的运用。 典 型 例 题 1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9,25和8整除。 分析 这类题目要先看几个除数之间的关系，比如该题中，由能被9,25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数，但是9,25和8是两两互质的，由整除的性质(3)推知，七位数 □7358□□能被9,25和8的乘积整除。 解 因为9,25,8两两互质，由整除的性质(3)知，七位数能被9×25×8=1800 整除，所以七位数的个位，十位都是0;再由能被9整除的数的特征推知首位数应填4。这个七位数是4735800。 思维训练1 1. 九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数字。 2. 某个七位数1993□□□能同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位数字依次是多少? 典型例题2 试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除?如果回答"可以",则只要举出一种排法；如果回答"不能",则需给出说明。 分析 根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3 的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个数是3的倍数，所以不能。 解 假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，按照排列顺序将它们每5个 分为一组，可得20组，其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个 数是3的倍数。从而一共会有不少于40个数是3的倍数。但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，与假设相矛盾，所以不能。 能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除? 典型例题3 找出四个互不相同的自然数，使得其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除，如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少? 分析 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两个数，因此最小的数必须大于或等于2。我们先考查2、3、4、5这四个数，不符合要求，因为5+2 =7,不能被5-2=3整除。再往下就是2、3、4、6,经试算，这四个数符合要求，所以，中间两个数的和是3+4=7。 解 这四个自然数为2、3、4、6,中间的两个数的和是3+4=7。 思维训练3 有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个 数字之和也能被4整除。所有这样的两位数的和是 。 典型例题4 一本陈年老账上记着：72本笔记本，共□67.9□元。这里□处字迹已不清。请把□处数字补上，并求笔记本的单价。 分析 72=9×8,故□67.9□既能被8整除也能被9整除。 解 72=9×8,故□67.9□既能被8整除也能被9整除。能被8(或125)整除的数的特征 是末三位数能被8(或125)整除，故末位为2。能被3(或9)整除的数的特征是各个数位数字之和能被3(或9)整除，故首位为3。所以72本笔记本，共花费367.92元，笔记本的单价为367.92÷72=5.11(元)。 思维训练4 王老师为学校一共买了28支价格相同的圆珠笔，共付人民币9□ .2□元。已知□处数字相同，请问每支圆珠笔多少元? 竞赛强化 1. 一叠书，无论平均分给8个人，还是平均分给10个人，都能正好分完，这叠书至少有 本。 2.123456789□□,这个十一位数能被36 整除，那么这个数的个位上的数字最小是 。 3. 有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并且是11 的倍数。这三个数是 。 4. 任取一个四位数乘3456,用B 表示其积的各位数字之和，用C 表示B 的各位数字之和，用 D 表示C 的各位数字之和，那么D 是 。 5. 如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是 6. 六位数3ABABA 是6的倍数，这样的六位数有 个。 7.500名学生排成一列横队。第一次从左到右1,2,3,4,5…… (1至5)报数；第二次反过 来从右到左1,2,3,4,5,6…… (1 至6)报数，既报1 又报6的学生有 名。 8. 在所有五位数中，能够被11整除，且各位数字之和等于43的数有哪些? 9.