第21讲 容斥原理（讲义）-五年级下册数学人教版

第21讲 容斥原理 专题概述 本讲的主要内容是让学生掌握容斥原理，并能运用容斥原理解决实际问题，主要的求解方 法如下： (1)被计数事物有A、B两类时，根据 A 类、B 类元素个数的总和=A 类元素个数+B 类元素个数一既是 A 类又是B 类的元素个数求出正确答案； (2)被计数的事物有 A、B、C三类时，根据A 类、B 类、C 类元素个数的总和=A 类元素个数 +B 类元素个数+C 类元素个数一既是A 类又是B 类的元素个数一既是B 类又是C 类的元素个数一既是A 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类且是C 类的元素个数求出正确答案； (3)从另一角度思考被计数事物存在重复的情况，再根据容斥原理求出正确答案。 典型例题1 学校文艺团每人至少会演奏一种乐器，其中会弹钢琴的有15人，会拉小提琴的有18人，既会弹钢琴又会拉小提琴的有5人。这个文艺团一共有多少人? 分析 如下图所示： 总人数=会弹钢琴人数十会拉小提琴人数一既会弹钢琴又会拉小提琴人数=15+18-5=28(人) 解 15+18-5=28(人) 答：这个文艺团一共有28人。 思维训练1 1. 五(1)班学生有33人参加英语小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有25人参加英语小组，20人参加科技小组，两个小组都参加的有多少人? 2. 五年级学生订刊物，75人订了《中国少年文摘》,68人订了《小学生时代》,两种刊物都订的有15人，没有订刊物的有22人，问五年级共有多少学生? 典型例题2 在1～100的自然数中有多少个是5的倍数和7的倍数? 分析 此题只需求出1～100的自然数中5的倍数的个数，7的倍数的个数，5和7的积即35的倍数的个数，利用容斥原理可知：自然数1～100中5的倍数和7的倍数的总个数=1~ 100自然数中5的倍数的个数+1～100中自然数7的倍数的个数— 1～100自然数中35的倍数的个数。 解 100÷5=20,1～100自然数中5的倍数个数为20个。 100÷7=14 ……2,1～100自然数中7的倍数个数为14个。 100÷35=2 ……30,1～100自然数中35的倍数个数为2个。 1～100的自然数中5的倍数和7的倍数有20+14-2=32(个)。 思维训练2 1.1到1000的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个? 2. 分母是77的最简真分数有几个? 典型例题3 春天的某个周末，10个同学相约去太子湾野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了饭团，6个人带了鸡腿，4个人带了巧克力蛋糕，3个人既带了鸡腿又带了巧克力蛋糕，2个人既带 了饭团又带了鸡腿，1个人既带了饭团又带了巧克力蛋糕。问： (1)三种都带了的有几人? (2)只带了一种的有几人? 分析 如图，用A 圆表示带饭团的人，B 圆表示带鸡腿的人，C 圆表示带巧克力蛋糕的人。 根据容斥原理第二类，总人数=(带饭团的人数+带鸡腿的人数+带巧克力蛋糕的人数)-(带饭团、鸡腿的人数十带饭团、巧克力蛋糕的人数+带鸡腿、巧克力蛋糕的人数)十三种都 带了的人数，即10=(6+6+4)- (3+2+1)+三种都带了的人数，得三种都带了的人数为 10- (6+6+4)+(3+2+1)=0(人) 解 (1)10- (6+6+4)- (3+2+1)=0(人) (2)10- (3+2+1)=4(人) 答：三种都带了的有0人，只带一种的有4人。 思维训练3 1. 某校五(2)班有学生45人，每年在暑假里都参加体育集训营，其中参加排球队的有 23人，参加游泳队的有25人，参加篮球队的有20人，排球、游泳都参加的有12人，篮球和排球都参加的有9人，篮球和游泳都参加的有10人，问三项都参加的有多少人? 2. 某班的全体学生在进行了跳远、短跑、投掷三个项目的测试后，有3名学生在这三个项目 上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表所示。 项 目 跳远 短跑 投掷 跳远、短跑 短跑、投掷 跳远、投掷 跳远、投掷、短跑 人数/人 16 18 13 6 7 6 2 这个班级的学生共有多少人? 典型例题4 小明和他的同学在某个十字路口统计1小时内经过该十字路口的车辆数目。经统计，发现1小时内有24辆车不是公交车，有20辆车不是货车，已知公交车和货车一共18辆，问1小 时内经过该路口的除公交车和货车以外的车辆有多少? 分析 从“有24辆车不是公交车”可知，24辆车是货车和其他车辆，从“20辆车不是货车' 可知，20辆车是公交车和其他车辆。那么24+20=44(辆)就是货车加公交车加其他车辆，再 减去18就得出其他车辆的数目，这样除公交车和货车以外的其他车辆为(44-18)÷2=13(辆)。 解 (24+20-18)÷2=13(