第7讲 奇数和偶数及奇偶性的应用（讲义）-五年级下册数学人教版

第7讲 奇数和偶数及奇偶性的应用 专题概述 在掌握奇数和偶数的运算性质的基础上解决问题，本讲主要的题型有以下几类： (1)对整数进行四则运算，判断结果是奇数还是偶数； (2)利用数的奇偶性进行逻辑推理； (3)通过对实际问题编上号码，利用整数的奇偶性解决问题。 典型例题1 1+2+3+ … +2017的和是奇数还是偶数? 分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数。但是如果从 加数的奇偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性。此题可以有两种解法。 解 解法一 ：因为1+2+3+ …+2017=1009×2017, 又因为1009和2017是奇数，奇数×奇数=奇数， 所以原式的和是奇数。 解法二：因为2017÷2=1008……1, 所以1～2017的自然数中，有1008个偶数，有1009个奇数。 因为1008个偶数之和一定是偶数， 又因为奇数个奇数之和是奇数， 所以1009个奇数之和是奇数。 偶数十奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。 思维训练1 1. 任意取出2016个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数? 2.1,2,3,4,5,6这六个数两两相乘，可以得到15个不同的乘积。这15个乘积之和是奇数还是偶数? 典型例题2 圣诞前夕，同学们相互送贺卡。每人只要接到对方贺卡就一定回赠贺卡，那么送了奇数张贺卡的人数是奇数，还是偶数?为什么? 分析 此题初看似乎是求总人数，但解决问题的实质在送贺卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。 解 由于是两人互送贺卡，给每人分别标记送出贺卡一次。那么贺卡的总张数应能被2整除，所以贺卡的总张数应是偶数。 送贺卡的人可以分为两种： 一种是送出了偶数张贺卡的人，他们送出的贺卡总和为偶数。 另一种是送出了奇数张贺卡的人，他们送出的贺卡总数=所有人送出的贺卡总数一所有 送出了偶数张贺卡的人送出的贺卡总数=偶数一偶数=偶数。 他们的总人数必须是偶数，才能使他们送出的贺卡总数为偶数。 所以，送出奇数张贺卡的人数一定是偶数。 思维训练2 1. 某校同学参加区数学竞赛，试题共50道。评分标准是：答对一题给3分，不答给1分， 答错倒扣1分。请你说明：该校同学得分总和一定是偶数。 2.15只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下? 典型例题3 有两组数，甲组：1,3,5,7,9,…,99;乙组：2,4,6,8,10,…,100,从甲组任意选出一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到( )个不同的和。 分析 甲组全是奇数，乙组全是偶数，甲组中的数与乙组中的数之和为奇数，和可能相同，不能重复计算，故可计算出最大的奇数和最小的奇数，从而推算出和的个数。 解 甲组有50个奇数，乙组有50个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和必为奇数，其中最大是199,最小是3。从3到199中不同的奇数共有99个，所以，能得到99个不同的和。 思维训练3 1. 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差180,这个数是多少? 2. 用0～9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少? 竞赛强化 1. 一个偶数分别和与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80,那么这三个偶数 的和是 。 2.39个连续奇数的和是2379,其中最大的是 。 3. 一串数排成一行：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 ……到这串数的第2017个数为止，共有 个偶数。 4. 一本书编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1,2,3, …,15页。如果将这些 文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有 篇。 5. 有大、小两个盒子，其中大盒内装有1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒 内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从 小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问： 从大盒内摸了1999 次棋子后，大盒内还剩 枚棋子，它们都是 颜色。 6. 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数字的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999? 7. 线段AB 的两个端点， 一个标以红色， 一个标以蓝色。在线段中间插入2017个分点，每个分点随意标上红色或蓝色，这样分得2018条不重叠的小线段。如果把两端点颜色不同的小线段叫作标准线段，那么标准线段的条数是奇数还是偶数? 8.从起点开始，隔一米种一棵树，如果把三块"爱护树木"的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少