5.5.2 简单的三角恒等变换（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换 复习导入 学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富. 新知探索&例析 （课本）例7.试以表示 解：是的二倍角.在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴① 在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴② ∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得： 新知探索&例析 例7的结果还可以表示为： 并称之为半角公式，符号由所在象限决定. 新知探索&例析 （课本）例8.求证： (1) (2) 证明：(1)因为 将以上两式的左右两边分别相加，得： 即 思考1：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 新知探索&例析 （课本）例8.求证： (1) (2) 证明(证法一)：(2)由(1)可得 ① 设那么 把的值代入①，即得 . 思考2：如果不用(1)的结果，如何证明？ 新知探索&例析 （课本）例8.求证： (2) 证法二：∵ ∴ 新知探索&例析 （课本）例8.求证： (1) 积化和差 (2) 和差化积 例8的证明用到了换元的方法.如把看作看作从而把包含的三角函数式转化成的三角函数式.或者，把看作看作把等式看作的方程，则原问题转化为解方程(组)求它们都体现了化归思想. 新知探索&例析 （课本）例9.求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)(2) 解：(1) 因此，所求周期为最大值为，最小值为. 思考3：你能说一说这一步变形的理由吗？ 辅助角公式： 其中，所在象限由和的符号确定. 新知探索&例析 （课本）例9.求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)(2) 解：(2)设则 于是 于是所以 取则 由可知，所求周期为最大值为，最小值为. 新知探索&例析 （课本）例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 解：在中， 在中， 所以 设矩形的面积为，则 新知探索&例析 （课本）例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 解： 由得 所以当即时， 因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程蕴含了化归思想. 【例1】（2023·全国·高一课时练习）化简：___________． 【答案】 【解析】∵，∴，∴． 又∵，且， ∴． ∵，∴，∴． ∴． 故答案为： 题型一：利用半角公式化简求值问题 练习 【对点训练1】（2023·全国·高一课时练习）若，是第三象限角，则___________． 【答案】 【解析】， ，， 为第三象限角，， 故答案为： 题型一：利用半角公式化简求值问题 练习 【例2】（2023·江西·丰城九中高一期末）（1）证明： （2）求值： 【解析】（1）证明： 因为左边 右边， 所以原命题成立． （2）因为， 所以， 所以 题型二：三角恒等式的证明 练习 【对点训练2】（2023·全国·高一课时练习）证明： （1）； （2）． 【解析】（1）左边= = = 右边= == 左边=右边，所以原等式得证． （2） 故原式得证． 题型二：三角恒等式的证明 练习 【例3】（2023·上海·位育中学高一期中）若函数的图像关于直线对称，则___________． 【答案】 【解析】因为函数的图像关于直线对称， 所以函数在时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：， 即， 整理得：， 解得． 故答案为： 题型三：辅助角公式的应用 练习 【对点训练3】（2023·全国·高一专题练习）要使有意义，则实数m的取值范围为____________． 【答案】 【解析】因， 因此， 解得， 所以实数m的取值范围为． 故答案为： 题型三：辅助角公式的应用 练习 【对点训练4】（2023·上海市杨浦高级中学高一期中）若函数取最小值时，则___________． 【答案】 【解析】，其中 时取最小值， ， 故答案为：． 题型三：辅助角公式的应用 练习 【例4】（2023·广东·饶平县第二中学高一开学考试）已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 【解析】（1） 所以的最小正周期 （2）由，，得，． 故函数的单调递增区间为，． （3）当时， , ∴ ∴ 故在区间上的最大值为，最小值为． 题型四：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 练习 【对点训练5】（2023·浙江·高一期中）已