1.3 勾股定理的应用2023-2024学年北师大版八年级上册数学

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离. 2.应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. 任务一：学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离 活动1：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在B处正对面的A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁要怎么走最近？ B A 问题1：从A处到B处你们能想到几种路线？ 问题2：若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，求最短距离. 蚂蚁A→B的路线 B A d A B A' A B A' 问题1：从A处到B处你们能想到几种路线？ 路线1 路线2 路线3 12 3π A B 问题2：若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，求哪条路线距离最短?最短距离为多少？ B A 3 O 12 侧面展开图 A' A' 解：路线1：12+2×3=18cm； 路线2：12+3π=21cm； 路线3：侧面展开图如图所示， 因为AB2=122+(3×3)2，所以AB=15cm. 因为路线3＜路线1＜路线2，所以路线3距离最短，最短距离为15cm. 活动小结 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 方法归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 活动2：运用立体图形展开成平面图形求最短路程. 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到去火腿肠粒的最短路程吗？ B 牛奶盒 A 6cm 8cm 10cm B B1 8 A B2 6 10 B3 解：AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320， AB32= 62 +（10+8）2 =360， 所以去火腿肠粒的最短路程为AB1. 因为AB12 < AB22 < AB32， 练一练 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少m?(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3） 解：油罐的展开图如图， 则AB'为梯子的最短距离. 因为AA'=2×3×2=12m, A'B'=AB=5m, 所以AB'2=AA'2+A'B'2=122+52=169， 即AB'=13m. 所以梯子最短需13m. A B A B A' B' 任务二：应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题 活动：根据情景回答下列问题. 情景：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. 问题：（1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？ （3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ （2）解:因为AD2+AB2=302+402=502=BD2， 得∠DAB=90°，所以AD边垂直于AB边. （3）解:在AD上取点M,使AM=9cm,在AB上取点N使AN=12cm, 测量MN是否是15cm，是，就是垂直；不是，就是不垂直. A B C D M N （1）解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 △ABC为直角三角形 练一练 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6m处断裂，树的顶部落在离树根底部8m处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 m 6 m 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt△ABC中，AC=6m，BC=8m，由勾股定理得： 所以这棵树在折断之前的高度是10+6=16m. AB2=AC2+BC2=62+82=100, 即AB=10m. A B C 活动小结 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 解决 1.如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点A处沿着表面爬到顶点C处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（　　） A. B. C. D. A 2.如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　）米． A．1.3米