第3章 数据的集中趋势和离散程度（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学上册同步讲义全优学案（苏科版）

第3章 数据的集中趋势和离散程度（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”. 【微点拨】 平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 【例1】在中再添加一个数，使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为（    ） A． B． C． D． 二、加权平均数 （1）一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. （2）加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） （3）“权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 【微点拨】 （1）越大，表示的个数越多，“权”就越重，也就越“重要”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 【例2】（2023上·江苏南京·九年级统考期中）“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（    ） A．80 B．82 C．84 D．86 三、众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 【微点拨】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 【例3】（2023上·河北秦皇岛·九年级统考期中）一组数据1，8，4，8，4，6，4的众数是 ． 四、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 【微点拨】 （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半. 【例4】（2023上·河北沧州·九年级校联考期中）现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 五、平均数、中位数、众数的区别和联系 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势. 区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际. 【例5】（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）我校“足球社团”有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，统计表不小心被撕掉一块，下列判断正确的是（    ）    A．平均数不受两个数据的影响 B．方差不会受两个数据的影响 C．众数和中位数不受两个数据的影响 D．众数和方差不受两个数据的影响 【变式1】（2023上·河北唐山·九年级统考期中）一组数据，，，0，1，2，3则这组数据的平均数是 ，中位数是 ，众数是 【变式2】某次数学测试，圆圆同学所在的学习小组其他同学的平均分为75分，圆圆说，“我的分是100分，我们学习小组的平均分恰好是80分”． (1)圆圆同学所在的学习小组具有多少人？ (2)已知该学习小组本次测试得分的众数是90分，最低分为50分，求该学习小组本次测试得分的中位数． 六、用样本估计总体 在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水平. 【微点拨】 （1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价. 【例6】（2023·安徽合肥·校联考三模）青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图