5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 复习导入 前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题. 新知探索 思考1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究与角的正弦、余弦之间的关系. 不妨令 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点 新知探索 思考2：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究与角的正弦、余弦之间的关系. 不妨令 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点 终边 终边 终边 新知探索 连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以 注： 根据两点间的距离公式，得： 化简得：. 新知探索 当时，容易证明上式仍然成立. 所以，对于任意角有 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为. 例析 （课本）例1.利用公式证明. (1); (2). 证明：(1) (2) 例析 （课本）例2.已知是第三象限角，求的值. 解：由，，得： 又由，是第三象限角，得： 所以. 新知探索 思考3：由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式为基础来推导其他公式. 例如，比较与，并注意到与之间的联系： =，则由公式，有 . 于是得到了两角和的余弦公式，简记作. 新知探索 思考4：上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据及诱导公式五(或六)，推导出用任意角的正弦、余弦表示的公式吗？ 于是得到了两角和的正弦公式，简记作. 新知探索 于是得到了两角和的正弦公式，简记作. 思考5：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角的正切表示的公式吗？ 因为 ， 所以有： 于是得到了两角和的正切公式，简记作． （同除以） 新知探索 新知探索 因为，所以有： 于是得到了两角和的正切公式，简记作． （同除以） 新知探索 公式，，给出了任意角的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式. 类似地，，，都叫做差角公式. 例析 （课本）例3.已知是第四象限角，求的值. 解：由，是第四象限角， 得： 所以 于是有 例析 思考6：由以上解答可以看到，在本题条件下有那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 若(即角互余)，则 证明：因为，所以 例析 （课本）例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值： (1) (2) (3) 解：(1)由公式，得： (2)由公式，得： (3)由公式及得： 新知探索 思考7：试利用公式，，推导出的公式？ ； ； 新知探索 思考8：如果要求二倍角的余弦公式仅含的正弦(余弦)，那么又可得到： 证明：因为， 所以 以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系. 例析 （课本）例5.已知，求的值. 解：由，得 又所以 于是 例析 （课本）例6.在中，求的值. 解法1：在中，由得 所以 又，所以 于是. 例析 （课本）例6.在中，求的值. 解法2：在中，由得 所以 又，所以 所以 【例1】（2023·浙江省杭州第九中学高一期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ． 故选：C 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 练习 【对点训练1】（2023·山东临沂·高一期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】； ； 原式 ． 故选：C 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 练习 【对点训练2】（2023·山东潍坊·高一期末）下列各式化简结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，A不是； 对于B，，B不是； 对于C， ，C是； 对于D， ，D不是． 故选：C 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 练习 【例2】（2023·甘肃兰州·高一