第3讲 数形结合思想 讲义-2024届高三数学一轮复习

数形结合思想 6 数形结合思想 7 数形结合思想 数形结合思想：数虽精确但不直观，形虽直观却难准确，两者合璧，相得益彰！实现数形结合的基本要求：①熟悉各种常见函数的图象②善于将函数和方程图象化③若干个函数图象同时画出时，必须关注彼此的位置关系. No.1函数图象基础画法 1. 描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点(关键点)、连线． 找关键点的技巧： ①二次函数关键点：顶点+轴交点+轴交点(可能无)②三次函数关键点：极值点+对称中心点 ③幂函数关键点：(可能无) ④指数函数关键点： ⑤对数函数关键点： ⑥三角函数关键点： ⑦对勾函数关键点： ⑧双刃函数关键点： ⑨类反比例函数关键点： …… 2. 研究函数图象的基本方面 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)研究函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； 奇偶性研究方法： f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称. 单调性研究方法：①单调性的运算性质②导数 周期性研究方法：①定义②周期的结论 对称性研究方法： 1) 函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)； 2) 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x) 3) 函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)； 4) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (4)关注函数的极限情况，关注渐近线和间断点，可能需要洛必达法则。 No.2必需的函数图象【多多益善】 1. 一次函数 2. 二次函数 3. 三次函数 4. 反比例函数 5. 类反比例函数 6. 对勾函数&双刃函数 7. 幂函数 8. 指数函数 9. 对数函数 10. 三角函数 11. 圆锥曲线相关函数 如：表示圆心在原点，半径为2的圆在轴上方的半圆弧；如：表示椭圆在轴上方的半椭圆弧. No.3 函数图象变换规律 1. 平移变化 ①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象． 2. 伸缩变化(一般多用于三角函数) ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象． ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． 平移和伸缩变化的核心口诀是： 3. 对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a>0且a≠1)的图象y＝logax(a>0且a≠1)的图象。 4. 翻折变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；简记口诀： ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．简记口诀： ③y＝f(x)的图象y＝|f(|x|)|的图象.简记口诀： 典型例题 1. 已知方程的两根中，一根在，另一根在，则实数的取值范围是 . 思考与讨论：试利用数形结合思想解释时一元二次方程有两个不等实根. 练习：上题中两根情况改为如下情况时，求实数的取值范围(只列不等式，不用解). ①两根都大于1; ②两根都在内； ③一根在，另一根在之间； ④两根一正一负. 2. 若不等式只有唯一实数解，则= . 3. 方程有 个不同的实数解. 练习：方程有 个不同的实数解. 方程有 个不同的实数解. 方程有 个不同的实数解. 4. 若直线与函数()的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 5. 不等式在时恒成立，则的取值范围是 . 6. 已知方程有两个相异的实根，则 . A. B. C. D. 7. 已知函数，若正数互不相等，且，则的取值范围是 . 8. 已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区