5.3诱导公式第二课时 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）高一数学必修第一册课时同步学案 5.3　诱导公式(2) 第2课时　诱导公式五、六 【知识梳理】 【知识点一】诱导公式 公式五：sin＝cosα，cos＝sinα. 公式六：sin＝cosα，cos＝－sinα. 如图：角－α与角α的终边关于y＝x对称． 【知识点二】公式五和公式六的理解 (1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别转化为α的余弦(正弦)函数值． (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． (3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． (4)简记：“函数名改变，符号看象限”． 【题型探究】 【类型一】利用诱导公式求值 【例1】(1)已知角α是第四象限角，且满足sin－3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)是(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ (2)若sin＝，那么cos的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 【方法归纳】解决化简求值问题的策略 1首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系. 2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. 【变式训练1】(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是(　 　) A. B. C．－ D．－ (2)已知cos(＋φ)＝，且|φ|<，则tanφ＝________. 【类型二】利用诱导公式化简、证明 【例2】(1)化简·sincos＝________. (2)证明：＝tanα. 【方法归纳】三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 【变式训练2】求证：＋tan2(π－x)＝1＋tan2x. 【类型三】诱导公式的综合应用 【例3】已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 【方法归纳】 运用诱导公式化简、求值的前提是熟记诱导公式一～六，上述诱导公式可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”；即把已知角统一写成 的形式，根据k的奇偶性选择函数名进行化简.再综合利用三角函数的定义、特殊角的三角函数等知识解决问题.此时注意要三看： 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.,二看函数名称：一般是弦切互化.,三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 【变式训练3】已知f(α)＝. (1)将f(α)化为最简形式； (2)若f(α)－f ＝，且α∈(0，π)，求tanα的值． 【类型四】整体代换 【例4】已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值． 【方法归纳】诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般解题步骤如下． (1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等． (2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式． (3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果． 【课堂练习】 1．已知sinα＝，则cos等于(　 　) A. B．－ C. D．－ 2.＝(　 　) A．tanα B．－tanα C．1 D．－1 3．已知sin(－θ)＝，则cos(＋θ)等于________. 4．已知cosα＝，且α为第四象限角，那么cos(α＋)等于_________. 5．化简 . 【课堂小结】 1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号． 2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法． 3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通． 【参考答案】 【例1】(1)A　(2)D 【解析】(1)由sin－3cos(α－π)＝1， 得－cosα＋3cosα＝1，即cosα＝， 因为角α是第四象限角， 所以sinα＝－＝－. 所以tan(π－α)＝－tanα＝－＝. (2)由题意可得cos＝sin ＝sin＝－sin＝－. 【变式训练