函数的单调性 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数性质 · 单调性的定义：一般地，设函数的定义域为D，： ①如果，当时，都有，那么就称在区间上单调递增，区间叫做函数的单调递增区间； 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数（increasing function）. ②如果，当时，都有，那么就称在区间上单调递减，区间叫做函数的单调递减区间； 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数（decreasing function）. · 最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①都有； ②使得； 那么，我们就称是函数的最大值（maximum value） · 最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①都有； ②使得； 那么，我们就称是函数的最小值（minimum value） · 利用单调性判段函数的单调性： ①取值；②作差（作商）；③化简：因式分解，配方等；④判号；⑤判定单调性. · 利用单调性解不等式： 已知函数在区间上单调递增（减），若，则（）（利用单调性去马甲（））. · 利用函数的性质判断单调性（求单调区间） 一次函数：. 时，在定义域内单调递增； 时，在定义域内单调递减. 二次函数：. 时，在区间单调递减，单调递增； 时，在区间单调递增，单调递减； 反比例函数：. 时，在区间和单调递减， 时，在区间和单调递增， 1． 【典例剖析】 1.设函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 4.若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，且. （1）求函数的解析式；（2）判断的单调性，并证明； 8.已知函数. （1）若函数在上单调，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 9.已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在上不单调，求实数的取值范围; （3）若，试求的最小值. 2． 【课堂练习】 1.已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知函数. （1）若，判断函数在区间上的单调性并用定义证明； （2），恒成立，求实数的取值范围. 5.已知定义在上的函数，满足，，且对于任意，都有. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 3． 【课后巩固】 1.若函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（ ） 2.已知函数.判断函数在上的单调性，并证明； 3.证明函数在定义域内单调递增. 4.已知函数. （1）求函数的定义域； （2）用定义法证明：在上单调递增； （3）求在上的最大值与最小值. 5.已知二次函数的最小值为1，且． （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值； （3）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围. 6.设. （1）设在区间上具有单调性，求实数的取值范围； （2）若存在，使得对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$