第二十二章 二次函数 单元复习讲义2023-2024学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 知识点回顾 1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2、二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 3、二次函数的图象是一条抛物线：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 4、二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： (1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 5、二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． (2)b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” (3)c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 6、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 (1)当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； (2) 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 综合复习练习 一、选择题 1．下列函数中，y关于x的二次函数的是（　　） A．y＝x3＋2x2＋3 B．y＝﹣ C．y＝x2＋x D．y＝mx2＋x＋1 2．已知一个二次函数y = ax2（a≠0）的图象经过（－2，8），则下列点中在该函数的图象上的是（　　） A．（2，8） B．（1，3） C．（ －1，3） D．（2，6） 3．二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方，则的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．若二次函数的图象经过A、B、C三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数，当时.随的增大而减小，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（　　） A．a＜0 B．当x＜0时，y随x的增大而增大 C．点B的坐标为（1，0） D．图象的对称轴为直线x＝﹣1 7．已知函数 的对称轴为直线 ．若 是方程 的两个根，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点