精品解析：上海市黄浦区格致中学2023届高三下学期开学考试数学试题

格致中学2023年第二学期高三数学开学考卷 一、填空題（共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分） 1. 等比数列中，是方程的两个根，则=____________. 2. 已知两个单位向量，满足，则向量，夹角为______． 3. 已知函数，则______． 4. 已知函数，若，则______． 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 6. 已知随机事件A，B，，，，则________. 7. 已知复数、、满足，则______． 8. 已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为________．（用具体数字作答） 9. 将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则在上的值域为______． 10. 已知函数与的定义域均为，为偶函数，的图象关于点中心对称，若，则的值为______. 11. 在等差数列中，，与互为相反数，为的前n项和，，则的最小值是______． 12. 已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是__________. 二、选择题（共4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，满分18分） 13. 已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为2，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 15. 直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在正四面体中，是棱上的三等分点，记二面角，的平面角分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共5题，满分78分） 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求A； （2）若的面积为，求的值． 18. 如图，四边形是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧上的一点，，点H为线段的中点，且，点G为线段上一动点． （1）试确定点G的位置，使平面，并给予证明； （2）求二面角的大小． 19. 某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 频数 25 150 200 250 225 100 50 （1）已知此次问卷调查得分，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求； （附：若，则，，，） （2）在（1）条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； ②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为． 现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望． 20. 如图，椭圆、双曲线中心为坐标原点，焦点在轴上，且有相同顶点，，的焦点为，，的焦点为，，点，，，，恰为线段的六等分点，我们把和合成为曲线，已知的长轴长为4. （1）求曲线的方程； （2）若为上一动点，为定点，求的最小值； （3）若直线过点，与交于，两点，与交于，两点，点、位于同一象限，且直线，求直线的方程. 21. 已知函数在区间上有定义，实数a、b满足．若在区间上不存在最小值，则称函数在区间上具有性质P． （1）若函数在区间上具有性质P，求实数m的取值范围； （2）已知函数满足，且当时，．试判断函数在区间上是否具有性质P，并说明理由； （3）已知对满足的任意实数a、b，函数在区间上均具有性质P，且对任意正整数n，当时，均有．证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 格致中学2023年第二学期高三数学开学考卷 一、填空題（共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分） 1. 等比数列中，是方程的两个根，则=____________. 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理与等比数列的性质求解 【详解】由题意得，，而与同号，为正数，故 故答案为： 2. 已知两个单位向量，满足，则向量，的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据平面向量的运算律求出，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：由单位向量，满足，得，所以，，所以， 又,所以. 故答案为： 3. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此计算可得. 【详解】因为，所以， 则，解得：， 所以，则. 故答案为：. 4. 已知函数，若，则______． 【答案】7或 【解析】 【分析】根据题意,结合函数的解