5.5 三角函数恒等变换(题型精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高一数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教A版2019）

5.5 三角函数恒等变换 1. 理解与掌握两角差与和的余弦公式； 2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式； 3. 能利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值（角）、化简、证明等问题的解决. 4. 掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式的内容. 5. 会运用二倍角的三角函数公式解决三角函数式的化简、求值与证明. 6. 会运用三角函数的正弦、余弦、正切的和与差、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值. 7. 会运用相应的三角函数公式进行三角函数式的证明. 课标解读： 1.通过本节课学习，要求会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的求值、化简及证明. 2.通过本节课的学习，要求掌握二倍角公式的恒等变形与应用，解决与二倍角有关的三角函数式的计算与证明. 3.通过本节课的学习，要求会运用三角函数的相关公式进行简单的三角恒等变换，并能解决与三角函数有关的计算、化简、证明等问题. 5.5 三角函数恒等变换 1 一、主干知识 2 考点1：两角差的余弦公式 2 考点2：两角和的余弦公式 2 考点3：两角和与差的正弦公式 2 考点4：两角和与差的正切公式 3 考点5：二倍角的正弦、余弦、正切公式 3 考点6：二倍角公式的变形应用 3 考点7：半角公式 4 考点8：积化和差与和差化积公式（不要求记忆） 4 考点9：辅助角公式 4 考点10：三角函数式的化简与证明 4 二、分类题型 6 题型一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 6 命题点1　两角和与差的余弦公式 6 命题点2　两角和与差的正弦公式 6 命题点3　两角和与差的正切公式 7 命题点4　二倍角的正弦公式 7 命题点5　二倍角的余弦公式 8 命题点6　二倍角的正切公式 8 题型二 简单的三角恒等变换 9 命题点1　降幂公式 9 命题点2　辅助角公式 9 命题点3　三角恒等变换的应用与化简 10 命题点4　给角求值的问题 10 命题点5　给值求值的问题 11 命题点6　给值求值问题 11 命题点7　恒等变换的证明 12 命题点8　半角公式 12 命题点9　万能公式 13 三、分层训练：课堂知识巩固 14 一、主干知识 考点1：两角差的余弦公式 （1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α–β）=．cos αcos β+sin αsin β．简记为C（α–β）． （2）公式推导：①利用三角函数线推导．②利用向量法推导． 考点2：两角和的余弦公式 （1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α+β）= cos αcos β–sin αsin β．简记为C（α+β）． （2）公式推导： 在公式C（α–β）中，将β用–β来替换，并且注意到cos（–β）=cos β，sin（–β）=–sin β， 于是cos（α+β）=cos[α–（–β）]=cos αcos（–β）+sin αsin（–β）=cos αcos β–sin αsin β． 即cos（α+β）=cos αcos β–sin αsin β． 考点3：两角和与差的正弦公式 （1）公式内容：对于任意角α，β，有sin（α±β）= sin αcos β±cos αsin β ．简记为S（α±β）． （2）公式推导： 运用差角的余弦公式C（α–β）及诱导公式，可得 sin（α+β）=cos[–（α+β）]=cos[（–α）–β]=cos（–α）cos β+sin（–α）sin β=sin αcos β+cos αsin β． 运用差角的余弦公式C（α+β）及诱导公式，可得sin（α–β）=cos[–（α–β）] =cos[（–α）+β]=cos（–α）cos β–sin（–α）sin β=sin αcos β–cos αsin β． 考点4：两角和与差的正切公式 （1）公式内容：tan（α±β）=（α，β，α±β≠+kπ，k∈Z）．简记为T（α±β）． （2）公式推导： 当cos（α+β）≠0时，将公式S（α+β），C（α+β）的两边分别相除， 有tan（α+β）=， 若cos αcos β≠0，将上式的分子、分母分别除以cos αcos β，得tan（α+β）=． 在T（α+β）中，将β用–β来替换，可得tan（α–β）=tan[α+（–β）]==． 考点5：二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α=2sin αcos α． （2）C2α：cos 2α=cos2α–sin2α=2cos2α–1=1–2sin2α． （3）T2α：tan 2α=（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）． 考点6：二倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用： S2α：2sin αcos α=sin 2α；sin α=；C2α：cos2α–sin2α=2cos2α–1=1–2sin2α=cos 2α； T2α：=tan 2α；=ta