抛物线 讲义-2024届高三数学一轮复习

抛物线 【考纲解读】 1、 理解抛物线，抛物线标准方程的定义，掌握求抛物线标准方程的基本方法，能够熟练地根据条件求出抛物线的标准方程； 2、 理解并掌握抛物线简单的几何性质，能够运用抛物线简单的几何性质简单相关的数学问题。 【知识精讲】 一、抛物线的定义： 平面上到一定点的距离与它到一条定直线的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。 如图这里的定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。 y y y y p P F P 0 x 0 F x F 0 x 0 x F P 二、抛物线的标准方程： 1、焦点在x轴上： （1） 焦点在x轴上，开口向右 ； （2）焦点在x轴上，开口向左 ； y P P y 0 F x F 0 x =2px (p＞0) =-2px (p＞0) 2、焦点在y轴上： (3)焦点在y轴上，开口向上 ； (4) )焦点在y轴上，开口向下 ； y y F P 0 x 0 x F P =2py (p＞0) =-2py (p＞0) 『思考问题』 （1）抛物线定义中的定点是焦点，定直线是准线，由图可知焦点不能在准线上，所以定点也不能在定值线上； （2）抛物线的标准方程是以坐标原点为顶点，坐标轴为对称轴来考虑的，它有四种不同的形式，在求抛物线的方程时要分辨清楚两个问题：①焦点所在的坐标轴，②抛物线的开口方向； （3）抛物线的方程中只有一个待定系数p，所以在求抛物线的标准方程时，只需一个已知条件，求出待定系数p就可以了； （4）椭圆、双曲线的离心率是一个常数e，它是动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值，同样抛物线的离心率也是动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值；椭圆离心率的取值范围是（0，1），双曲线离心率的取值范围是（1，+） ，抛物线离心率是定值1。 （三）抛物线的几何性质： 抛物线 =2px (p＞0) =-2px (p＞0) =2py (p＞0) =-2py (p＞0) 的方程 抛物线 y y y y p P F P 0 x 的图像 0 F x F 0 x 0 x F P x，y的取 x（0，+） x（-，0）， x（-，+） x（-，+） 值范围 y（-，+） y（-，+） y（0，+） y（-，0） 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点坐标 顶点坐标（0，0）顶点坐标（0，0） 顶点坐标（0，0） 顶点坐标（0，0） 焦点坐标 焦点坐标（0，）焦点坐标（-，0）焦点坐标（0，）焦点坐标（0，-） 离心率 e=1 e=1 e=1 e=1 准线方程 x=-