椭圆 讲义-2024届高三数学一轮复习

椭圆 【考纲解读】 1、 理解椭圆，椭圆标准方程和椭圆参数方程的定义，掌握求椭圆标准方程和参数方程的基本方法，能够熟练地根据条件求出椭圆的标准方程； 2、 理解并掌握椭圆简单的几何性质，理解椭圆离心率的定义，掌握求椭圆离心率和弦长的基本方法。 【知识精讲】 一、椭圆的定义与方程： 1、椭圆的定义： （1）第一定义：平面内动点P到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹，叫做椭圆； ( 0 ) y y P ( 0 0 ) p X x 如图这里两个定点分别是椭圆的焦点，，常数为椭圆的长轴长2a(2a＞||=2c) （2）第二定义： 平面内动点P到定点F的距离与它到定直线L的距离的比等于常数的点的轨迹，叫做椭圆； Q l ( F 0 ) y y P Q ( 0 F 0 ) p x x l 如图这里的定点是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆相应的准线x=（焦点在X轴上）或y=（焦点在Y轴上），常数e是椭圆的离心率（0＜e＜1) 『思考问题』 （1）在第一定义中，两个定点，之间的距离||，叫做椭圆的焦距，用2c表示； （2）在第一定义中，动点P到两个定点，的距离和|P|+|P|为常数，这个常数叫做椭圆的长轴，用2a表示； （3）在第一定义中，动点P的轨迹是椭圆必须满足2a>2c，当2a=2c时，动点P的轨迹是线段||；当2a<2c时，动点P的轨迹不存在； （4）在第二定义中，动点P到定点F与定直线L的距离的比值是一个常数，这个常数叫做椭圆的离心率，它的取值范围是（0，1）； （5）在第二定义中，动点P到定点F的距离|PF|的取值范围是[a-c，a+c] （6）过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，它的长为。 2、椭圆的方程： （1）椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标轴）： ①焦点在x轴上 ②焦点在y轴上 ( 0 ) Y y P ( 0 0 ) p X x =1 （a＞b＞0） =1 （a＞b＞0） （2）椭圆的参数方程： x=acos y=bsin (为参数) 3、点P（，）与椭圆=1 （或=1）（a＞b＞0）的位置关系： ①=1（或=1）点P（，）在椭圆上； ②＞1（或＞1）点P（，）在椭圆外； ③＜1（或＜1）点P（，）在椭圆内； 4、直线y=kx+m与椭圆=1 （或=1）（a＞b＞0）的位置关系： 由=1（或=1） A+Bx+C=0，①若＞0，则直线与椭圆有两个公 y=kx+m 共点；②若=0，则直线与椭圆有一个公共点；③若＜0，则直线与椭圆没有公共点。 『思考问题』 （1）