6.1.4 数乘向量6.1.5 向量的线性运算 同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.1.4　数乘向量　6.1.5　向量的线性运算 一、必备知识基础练 1.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 2.(多选题)在△ABC中,,记=a,=b,则下列结论正确的是(　　) A.(-a-b) B.=-b C.(b-a) D.=a+b 3.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是(　　) A.2a=b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| 4.[2023河南高一]化简:(2a-b)-3a+b+2(a-2b)=　　　　. 5.在四边形ABCD中,=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为　　　　　. 6.已知点P在线段AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ=　　　　　. 7.已知3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),求x(用a,b,c表示). 二、关键能力提升练 8.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是(　　) A.a=5e1,b=7e1 B.a=e1-e2,b=3e1-2e2 C.a=e1+e2,b=3e1-3e2 D.a=e1-e2,b=3e1-e2 9.(多选题)[2023吉林高一校考期末]已知A,B,C是三个不同的点,=a-b,=2a-3b,=3a-5b,则下列结论正确的是(　　) A.=2 B. C.=3 D.A,B,C三点共线 10.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一句话:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:①=2;②=0;③=2;④S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 11.用向量运算刻画三角形的重心. (1)已知△ABC,求一点G满足=0. (2)求证:满足条件=0的点G是△ABC的重心. 12.如图,在四边形ABCD中,=2. (1)用表示; (2)若=2,用表示. 13.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0,且λ≠1). (1)求证:A,B,M三点共线; (2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围. 参考答案 一、必备知识基础练 1.A　=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线. 2.AC　因为=a,=b, 所以=-b-a,=-b, 所以(-a-b),b-(a+b)=(b-a). 故选AC. 3.AC　分别表示与a,b同向的单位向量. 对于A,当2a=b时,; 对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时; 对于C,当a=2b时,; 对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时. 结合选项,使成立的条件是a=2b,2a=b. 4.2a-b　(2a-b)-3a+b+2(a-2b)=a-b-a-3b+2a-4b=2a-b. 5.等腰梯形　由已知可得=-,所以,且||≠||.又||=||, 所以四边形ABCD为等腰梯形. 6.　因为||=4||,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此. 7.解因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b), 所以6a-3b+3c+x=-2a+6b, 即x=-8a+9b-3c. 二、关键能力提升练 8.ABD　对于A,a与b显然共线;对于B,因为b=3e1-2e2=6=6a,故a与b共线;对于C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得无解,故a与b不共线;对于D,b=3=3a,所以a与b共线. 9.ABD　由题可得=a-2b,=2a-4b,=a-2b, ∴=2,故A正确;,故B正确;=2,故C错误; 由=2可得∥ ,故A,B,C三点共线,故D正确. 故选ABD. 10.D　在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示: 对于②,根据三角形的重心性质得=0,②正确; 对于①③,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG, ∴=2, ∴=2=2,①③正确; 对于④,过点G作GE⊥BC,垂足为E,则, ∴△BGC的面积为S△BGC=BC·GE=BC××AN=S△ABC.同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,④正确.故选D. 11.(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的重心, 延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图, 由向量加法的平行四边形法则,得=2. 因为G为△ABC的重心,所以||=2||, 故=2,所以=2=0, 所以△ABC的重心G满足题意. (2)证明因为=0,所以=-, 以GA,GB为邻边作▱GAEB,连接GE,由向量加法的平行四边形法则,得,所