3.2.1双曲线及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 3. 2.1　圆锥曲线及其标准方程 复习巩固 1.椭圆的定义: 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 2.椭圆的标准方程: 2c (±c，0) (0，±c) a2＝b2＋c2 思考：与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 探索新知 [1]取一条拉链，拉开它的一部分； [2]如图把它固定在板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链观察点M。 思考：随着拉链逐渐拉开或者闭笼，观察拉链运动 的轨迹是什么？试着写出满足曲线的点的集合 动手小实验 ① |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ② |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a 根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？ 上面两条合起来叫做双曲线， 每一条叫做双曲线的一支。 知识归纳 一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)，则双曲线定义还可以描述为 若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线. 思考1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. 思考2 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ 分3种情况来看： ① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？ F1 F2 M 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 ② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹不存在 ③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c), 则有 二、双曲线标准方程 ① 建系: 如图示，建立平面直角坐标系. ② 设点： ③ 列式： O • • • M ④ 化简整理得： 我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 思考 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ O • • • M 这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2. 三、双曲线两种标准方程的特点 ① 方程用“－”号连接； ② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定； ③ c2=a2+b2 ； ④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上. O M F2 F1 x y F2 F1 M x O y 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 四、双曲线与椭圆之间的区别与联系 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 11 例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量. 题型一 双曲线的标准方程 跟踪1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在x轴上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在x轴上，经过点 (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5). (2) ∵焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为 ∴爆炸点P的轨迹是以A, B为焦点的双曲线靠近点B的一支. 例2 已知A, B两地相距800m, 在A地听到