第十六题 函数的单调性-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（乙卷专用）

第十六题 函数的单调性 真题展示与解法精粹 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 典型高考真题 一、单选题 1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 二、解答题 5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，记，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）给出下列四个函数：①；②；③；④．其中在上是增函数的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山西·校考模拟预测）已知是定义在上的单调函数，，则（    ） A．114 B．116 C．134 D．136 5．（2023·全国·模拟预测）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023·四川宜宾·校考一模）下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川·校联考一模）设，，，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）若函数（）在R上单调递增，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 ． 12．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 13．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 14．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）正数满足，则a与大小关系为 ． 15．（2023·河南驻马店·统考二模）已知是定义域为的单调递增的函数，，，且，则 ． 三、解答题 16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 17．（2023·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增. (1)求的最大值； (2)证明：当时，在上仅有一个零点. 18．（2023·上海·统考模拟预测）函数，且. (1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (2)，且在上有零点，求的取值范围. 19．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六题 函数的单调性 真题展示与解法精粹 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【思路分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【解析】解法一：由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：. 解法二：由题可得在区间上恒成立， 则，即，，故在区间上恒成立.故，故,即，即，故， 典型高考真题 一、单选题 1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确；