4.5.1 函数的零点与方程的解课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 第四章 指数函数与对数函数 一 二 三 学习目标 了解函数的零点存在性定理 方程的根与函数的零点的关系 方程的根与函数的零点运用 学习目标 方程解法时间图 · 中国 公元50年—100年 一次方程、二次方程 和三次方程根 11世纪·北宋·贾宪 三次方程正根数值解法 13世纪·南宋秦九韶 任意次代数方程正根解法 7世纪·隋唐·王孝通 三次或三次以上方程 方程解法时间图 · 西方 一次方程、二次方程 的一般解法 1541年·意大利 塔尔塔利亚 三次方程一般解法 1802～1829 挪威·阿贝尔 证明了五次以上一般方程没有求根公式 记载了费拉里的四次方程一般解法 9世纪·阿拉伯 花拉子米 1545年·意大利 卡尔达诺 解方程的历史 情景导入 新课导入 问题1 求下列方程的解. 追问1 对于方程（2），除了求根公式还有其它方法判断方程是否有实数根吗？ 追问2 对于方程（3）、（4）用什么方法判断方程是否有实数根呢？ 问题2 完成下表，观察方程解与函数图象与x轴的交点，有什么发现？ 方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 函数的图象 方程的实数解 函数的图象与x轴的交点 无实数解 没有交点 新课导入 方程的根是函数图像与x轴的交点的横坐标 5 P50 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 函数y=f(x)的零点 函数y=f(x)与x轴交点的横坐标 方程f(x)=0的实数解 形 数 特殊 一般 概念生成 由此可知，求方程f(x)=0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点. 函数的零点是一个点吗？ 6 新知探究 一般地，对于不能用公式求解的方程 f(x)=0，我们可以把它与相应函数y=f(x) 联系起来，利用函数的图像和性质找出零点, 从而得到方程的解. （1）函数的图像如右所示，则函数的零点为 ； （2）函数的零点为 ； （3）函数的零点为 ； （4）函数的零点是多少？有多少个零点？ -2，1，3 1 0 无零点 例1 判定下列函数零点的情况 新知探究 下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手. 问题3 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,想一想,两个零点附近函数图像与x轴有什么关系？函数值变化有什么特点？ （1）在[2,4]上，我们发现函数f (x)在区间(2,4)内有零点x=_______,有f (2)_____0，f (4)_____0,得到 f (2)·f (4)_____0（填>或<） 3 （2）在[-2,0]上，我们发现函数f (x)在区间(-2,1)内有零点x =_______,有f (-2)_____0，f (0)_____0,得到 f (-2)·f (0)_____0（填>或<） 同样地 在零点附近，图象“穿过” 新知探究 问题4 通过(1)(2)的探索，你觉得在怎样的条件下，函数y=f (x)在区间[a,b]上存在零点？ 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f (a)·f (b)<0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点. 猜想： 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根. 问题5 猜想正确吗？即若f (a)·f (b)<0，则函数 y=f(x)在区间 [a,b] 内一定有零点吗？ 0 y x 不一定存在零点，如右图。 追问 能不能把猜想进一步完善一下？ 概念生成 函数零点存在定理: 如果函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是　 　的一条曲线,且有　 　,那么函数y=f (x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得　 　,这个c也就是方程 f (x)=0的解. 连续不断 f (a)·f (b)<0 f (c)=0 1. 判定函数 y=f(x)零点 (即方程 f(x)=0的解)的存在性 2. 判断零点所存在的大致区间。 作用： 定理辨析 辨析1 如果函数 y=f (x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f (x)在区间