6.3.1平面向量基本定理学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1平面向量基本定理 【学习目标】 1. 理解平面向量基本定理及其意义,了解向量基底的含义. 2. 掌握平面向量基本定理,会用基底线性表示平面向量. 【教材知识梳理】 平面向量基本定理 条件 e1,e2是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 1, 2,使 基底 若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【质疑辨析】(正确的画“√”,错误的画“ ”) (1)已知向量a,b,则对该平面内任一向量c,都存在唯一一对实数x,y,使得c=xa+yb.( ) (2)基底中的向量不能为零向量.( ) (3)表示平面内所有向量的基底是唯一的.( ) (4)若a,b不共线,且 1a+ 1b= 2a+ 2b,则 1= 2, 1= 2. ( ) (5)若(),则、、三点共线. 【教材例题变式】 例1.(源于P26例1)如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AD,BC边上的中点,且BC=3AD,=a,=b.试以a,b表示,. (2) 如图所示,在 OAB中,=a,=b,M、N分别是边OA、OB上的点,且=a,=b,设与交于点P,用向量a、b表示. 例2. (源于P26例2)利用向量数量积证明直径所对的圆周角是直角. 【教材拓展延伸】 例4.(1)如图,在平行四边形ABCD中,F是边CD的中点,AF与BD交于点E,用向量方法证明:E是线段BD的三等分点. (2) 如图,正方形ABCD的边长为a, E是AB的中点,F是BC的中点, 求证:DE⊥AF. 【课外作业】 基础过关 1.设向量与不共线,若3x+(10-y)=(4y-7)+2x,则实数x,y的值分别为( ) A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 2.设是平面内的一个基底,则下面的四组向量不能作为基底的是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 3.在中,点D在边AB上,.记,则( ) A. B. C. D. 4.在平行四边形中,,是对角线的交点,是的中点,又,则的值分别为( ) A. B. C. D. 5.设一直线上三点A,B,P满足(),O是直线所在平面内一点,则用,表示为( ) A.=+m B.=m+ C.= D.=+ 6.(多选)如图所示,设是平行四边形的两条对角线的交点,给出下列向量组,其中可作为该平面内所有向量的基底的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 7.如图所示,向量可用向量,表示为_. 8.在中,是边上一点.若,则的值为_. 9.如图,在 OBC中,点A是BC的中点,点D是OB上靠近点B的一个三等分点,DC和OA交于点E.设. (1)用向量表示; (2)若= ,求实数 的值. 能力提升 10.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分 , , , (不包含边界).设=m+n,且点P落在第 部分,则实数m,n满足( ) A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0 11.(多选)如果是平面内两个不共线的向量,则下列说法中正确的是( ) A.可以表示平面内的所有向量 B.对于平面内任一向量,使的实数对有无穷个 C.若向量与共线,则有且只有一个实数,使得 D.若存在实数使得,则 12.(多选)如图所示,四边形为梯形,其中,,,分别为的中点,则结论正确的是( ) A. B. C. D. 13.如图,在平行四边形中,和分别是边和的中点,若,其中,则_. 6.已知,点C在内,且.设,则等于_. 15.如图,在平行四边形ABCD中,F是边CD的中点,AF与BD交于点E,用向量方法证明:E为线段BD的三等分点. 16.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,,,D为BC的中点,E是AB上的一点,且,求证:. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 6.3.1平面向量基本定理 【学习目标】 1. 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2. 掌握平面向量基本定理，会用基底线性表示平面向量. 【教材知识梳理】 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【质疑辨析】(正确的画“√”，错误的画“×”) （1）已知向量a，b，则对该平面内任一向量c，都存在唯一一对实数x，y，使得c＝xa＋yb.(　　) （2）基底中的向量不能为零向量．(　　) （3）表示平面内所有向量的基底是唯一的．(　　) （4）若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.　(　　) （5）若（），则、、三点共线. 【答案】