6.2.1向量的加法运算学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.1向量的加法运算 【学习目标】 1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义. 2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并会用它们解决实际问题. 3.理解向量加法的绝对值三角不等式. 【教材知识梳理】 1． 向量加法的定义及其运算法则 1.定义：求 的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是向量. 2.三角形法则 已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b， 则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则，运用三角形 法则的前提是首尾相连，即＋＝，这里的B点具有任意性. 3.平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB， 则就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法 的平行四边形法则. 运用平行四边形法则的关前提是共起点，注意当两个向量共线时， 不能用平行四边形法则. 4.对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a. 二．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 对于任意向量a，b，都有 ≤ |a＋b| ≤ ； (1)当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝_______； (2)当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝_______． 根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论，因此形象称之为三角形不等式． 三．向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 【质疑辨析】(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个向量相加的结果仍然是一个向量．(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　) (3)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．( 　) (4)若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形三个顶点．(　 　) (5)若a，b是方向相反的两个向量，那么|a＋b| =|a| - |b|．(　 　) 【教材例题变式】 例1.（源于P8例1）如图(1),(2),(3)，已知向量a，b，分别求作向量a＋b. 例2.（源于P9例2）长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)． 【教材拓展延伸】 例3．化简下列各式： (1)；(2)；(3)． 例4.（1）设|a|=8，|b|=12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为__________． （2）若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则(　　) A．a，b同向共线 B．a，b反向共线 C．a，b同向共线且|b|>|a| D．a，b反向共线且|b|>|a| 例5.（1）如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋. （2）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且. 求证：. 【课外作业】 基础过关 1．某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（     ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 2．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（     ） A． B． C． D． 3．化简的结果等于（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（     ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 5．正方形的边长为1，则为（     ） A．1 B． C．3 D． 6．（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量． (1)＋＝_________；(2)＋＝_________；(3)＋＝_________. 8．已知向量，不共线，且，，则的取值范围是___________． 9．如图，已知向量，，不共线，作向量++． 能力提升 10.已知O是所在平面内一点，且，那么（     ） A．点O在的内部 B．点O在的边上 C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部 11．（多选）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 12．（多选）已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 13．已知点O为ABC外接圆的圆心，且＋＋＝，则ABC的内角A等于________． 14．如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|=24