山东省淄博市实验中学、齐盛高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年 淄博市实验、齐盛高中 高二上学期 期中考试 数学试卷 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1.若经过点和的直线的斜率为2,则( ) A. B.1 C.2 D.4 2.双曲线的焦距为( ) A. B. C. D. 3.已知,,且,则实数t的值为( ) A. B.3 C.4 D.5 4.抛掷两枚硬币,设事件A=“第一枚正面朝上”,B=“第二枚反面朝上”,则( ) A.事件A和B互斥 B.事件A和B相互对立 C.事件A和B相互独立 D.事件A和B相等 5.圆与圆的公切线有( )条 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,在圆锥SO中,AB是底面圆的直径,, D,E分别为SO,SB的中点,点C是底面圆周上一点(不同于A, B)且,则直线AD与直线CE所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆有公共点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知右焦点为F的椭圆E:上的三点A,B,C满足直线AB过坐标原点,若于点F,且,则E的离心率是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,选对但不全得2分,有选错的得0分。 9.设A,B为两个互斥的事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 10. 设,分别为椭圆的左、右焦点,直线过且交椭圆于A,B两点,则以下说法正确的是( ) A.的周长为定值8 B.的最大值4 C.|AB|的最小值为 D.若面积为1,则 11.已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,则下列说法正确的是( ) A.直线过定点 B.若,则 C.的最小值为 D.的面积的最大值为2 12. 如图,在棱长为2的正方体中,,分别是棱,的中点,点在上,点在上,且,点在线段上运动,下列说法正确的有( ) A.当点是中点时,直线平面 B.直线到平面的距离是 C.存在点,使得 D.面积的最小值是 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13. 已知,,,则 . 14.如图,二面角的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱.若,,,,则平面与的夹角是 . 15.一条光线从点A(-4,0)射出,经直线x+y-1=0反射到圆C:上,则光线经过的最短路径的长度为 . 16. 已知椭圆,过点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,O为坐标原点,若点O在以AB为直径的圆外,则直线l的斜率k的取值范围为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题10分)已知的顶点,边上的高BH所在直线为,边上的中线AD所在直线方程为. (1)求顶点A的坐标;(2)求直线的方程.(结果用一般式方程表示). 18.(本小题12分) 如图,在正四棱锥中,,,分别是的中点. (1)证明:平面; (2)求平面与平面的夹角. 19.(本小题12分)甲、乙两位同学进行跳绳比赛,比赛规则如下:进行两轮跳绳比赛,每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分,跳绳不够200次得0分,两轮结束总得分高的为跳绳王,得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析,已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为,乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为,且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率; (2)求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率. 20. (本小题12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=. (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:与椭圆C交于A,B两点,若 PAB的面积为2,求的值. 21. (本小题12分)如图1,梯形ABCD中,,过A,B分别作,,垂足分别为E,F.,,已知,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,得空间几何体,如图2 . (1) 若,证明:平面; (2) 若,,线段AB上存在一点P,满足CP与平面ACD所成角的正弦值为,求的值. 22. (本小题12分)已知动点与两个定点的距离的比为 (1)求动点的轨迹; (2)过点作直线,交曲线于两点,不在轴上. ①过点作与直线垂直的直线,交曲线于两点,记四边形的面积为,求的取值范围: ②已知,设直线相交于点,试讨论点是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.