特训02 期末解答压轴题（圆锥曲线）-2023-2024学年高二数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第二册，浙江专用）

特训02 期末解答压轴题（圆锥曲线） 一、解答题 1．（2023上·浙江杭州·高二杭师大附中校考期末）已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值. 2．（2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，且离心率为，点为椭圆上的动点，面积最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）是椭圆上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由. 3．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点． (1)求点的轨迹方程； (2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值． 4．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，其左右顶点分别为为椭圆的短轴端点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上异于的任意一点，设直线与直线交于点，过作直线的垂线交椭圆于两点. （i）设直线与的斜率分别为，证明：为定值，并求出该定值； （ii）求（为坐标原点）面积的最大值. 5．（2023上·浙江台州·高二期末）已知双曲线，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点． (1)若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形的面积为定值； (2)若，D为垂足，求点D的轨迹的长度． 6．（2023上·浙江宁波·高二期末）已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形面积等于． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左焦点为F，若直线l过定点且与椭圆C相交于A，B两点，求的最大值． 7．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知椭圆，离心率为，右焦点为，抛物线的焦点到其准线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)若过作斜率为的直线交椭圆于，交轴于的中垂线交轴于，记以弦为直径的圆的面积为的面积为，求. (3)已知且，若斜率为的直线与椭圆相交于两点，且中点恰在抛物线上.记的横坐标为，求的最大值. 8．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知离心率为的椭圆过点. (1)求椭圆的方程; (2)设直线与椭圆交于不同的两点,直线分别交直线于点.当面积为8时,求的值. 9．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知双曲线：与双曲线：的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点.设，，求的取值范围. 10．（2023上·浙江金华·高二统考期末）已知双曲线，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为． (1)求双曲线C的方程； (2)已知点为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标． 11．（2023上·浙江杭州·高二统考期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围． 12．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知双曲线，焦点到其中一条渐近线的距离为． (1)求； (2)动点M，N在曲线C上，已知点，直线分别与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线上，，证明：存在定点T，使得为定值． 13．（浙江省温州市永嘉县罗浮中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知双曲线的焦距为8，过左焦点的直线与双曲线的左半支交于，两点，过，向直线作垂线，垂足分别为，，且的最小值为12. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点，试判断是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 14．（2022上·浙江绍兴·高二绍兴鲁迅中学校考期末）已知抛物线：上一点到其准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积． 15．（2023上·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，其左、右顶点分别为A、B，右焦点为F. (1)求椭圆的方程； (2)如图，过右焦点F作不与x轴重合的直线交椭圆于C、D两点，直线AD和BC相交于点M，求证：点M在定直线上； (3)若直线AC与（