5.4.3 正切函数的性质与图象（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.4 三角函数的图象和性质 5.4.3 正切函数的性质与图象 问题导入 思考1：根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为如何研究正切函数的图象与性质？ 思考2：你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象. 新知探索 思考3：类比研究正弦函数、余弦函数的周期性，试研究正切函数的周期性？ 由诱导公式且可知，正切函数是周期函数，周期是 思考4：类比研究正弦函数、余弦函数的奇偶性，试研究正切函数的奇偶性？ 由诱导公式且可知，正切函数是奇函数 新知探索 思考5：你认为研究正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先考察函数的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展 思考6：如何画出函数的图象？ 新知探索 如图，设在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点过点作轴的垂线，垂足为；过点作轴的垂线与角的终边交于点，则 由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值. 我们可以利用线段画出函数的图象，如图所示. 新知探索 观察下图可知，当时，随着的增大，线段的长度也在增大，而且当趋向于时，的长度趋向于无穷大.相应地，函数的图象从左到右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线 思考7：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？ 新知探索 根据正切函数是奇函数，只要画的图象关于原点的对称图形，就可得到的图象； 根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、右平移，每次平移个单位长度，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切函数. 新知探索 从图可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增. 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间上单调递增. 新知探索 当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值. 因此，正切函数的值域是实数集R. 新知探索 函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称中心 奇函数 在每一个区间上都单调递增 例析 （课本）例6.求函数的定义域、周期及单调区间. 解：自变量的取值应满足即 所以，函数的定义域是. 设，又所以 即. 因为都有， 所以，函数的周期为2. 由解得 因此，函数在区间上单调递增. 【例1】（2023·全国·高一课时练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正切函数的定义域， 令，，即，所以函数的定义域为． 故选：D． 题型一：正切函数的定义域问题 练习 【对点训练1】（2023·宁夏·银川一中高一期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 可得， 则 则函数的定义域为 故选：C 题型一：正切函数的定义域问题 练习 【例2】（2023·陕西西安·高一期末）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．图像关于点成中心对称 C．在区间上单调递增 D．图像关于直线成轴对称 【答案】B 【解析】函数， 当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确； 函数的最小正周期为，所以A错误； 当时，， 所以函数在上单调递减，所以C错误； 正切函数不是轴对称函数，所以D错误． 故选：B． 题型二：正切函数的对称性问题 练习 【对点训练2】（2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为， 则有的周期，解得，于是得， 所以的图像的对称中心横坐标方程满足（）， 解得（）， 可知为其一个对称中心． 故选：C 题型二：正切函数的对称性问题 练习 【例3】（2023·江苏省镇江中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意，． 故选：B 题型三：正切函数的周期性问题 练习 【对点训练3】（2023·全国·高一专题练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】函数的图象向右平移个单位得 ， 依题意，，， 解得，而，有，， 所以的最小值为2． 故选：C 题型三：正切函数的周期性问题 练习 【对点训练4】（2023·全国·高一专题练习）函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为， 所以函数的最小正周期为， 所