5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.4 三角函数的图象和性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 复习导入 上节课的学习中，我们学了正弦、余弦函数的图象.其中有五个点在函数图象中起着关键作用，请同学们回顾一下在正余弦函数中的“五点”. 与轴的交点 图象的最高点 图象的最低点 正弦函数的五个关键点： 与轴的交点 图象的最高点 图象的最低点 余弦函数的五个关键点： 新知探索 思考1：类比以往对函数性质的研究，你认为应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大值(小)值等.另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的. 新知探索 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律. 实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自变量的值加上的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律. 概念生成 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 注：(1)周期函数的周期不止一个.例如以及等.都是正弦函数的周期.事实上，由，我们可知：常数都是它的周期. (2)若函数的周期是，则也是的周期. 概念生成 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 根据上述的定义，我们有： 正弦函数是周期函数，都是它的的周期，最小正周期是. 思考2：类比于正弦函数，试探究余弦函数的周期性. 类似的，由，可知，余弦函数也是周期函数. 以及等都是余弦函数的周期.即常数都是它的周期，最小正周期是. 概念生成 注：(3)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量要加上的那个最小正数，这个正数是对而言的，如的最小正周期是因为，即是使函数值重复出现的自变量加上的最小正数，是针对而言的，而非 (4)并不是所有的周期函数都有最小正周期，例如，常数函数，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期. 例析 （课本）例2.求下列函数的周期： (1) (2) (3) 解：(1)有 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 (2)令由得，且的周期为，即 ，于是， 所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. 例析 （课本）例2.求下列函数的周期： (1) (2) (3) 解：(3)令由得，且的周期为，即 ，于是， 所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. 新知探索 思考2：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？ 函数的周期与的系数有关. 仿照上述分析过程可得: 函数(其中为常数，且)的最小正周期为：． 新知探索 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称.这个事实，也可由诱导公式得到，所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 新知探索 思考3：观察下图，找出的值随着的变化是如何变化的？ 新知探索 观察下图，可以看到： 当由增大到时，曲线逐渐上升，的值由增大到；当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由减小到. 的值的变化情况如表所示： ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ 新知探索 ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ 这就是说，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间()上都单调递减，其值从减小到 新知探索 ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ 思考4：类比于正弦函数，观察余弦函数在一个周期区间(如[])上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表： 新知探索 这就是说，正弦函数,在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间()上都单调递减，其值从减小到 ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ 新知探索 思考5：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得最值时对应的自变量的值. 新知探索 正弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值 余弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值 例析 （课本）例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值. (1) (2) 解： (1)使函数取