第十五题 等比数列-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（乙卷专用）

第十五题 等比数列 真题展示与解法精粹 已知为等比数列，，，则______. 典型高考真题 一、单选题 1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 2．（2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．54 D．152 3．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 4．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 5．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 6．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 7．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 8．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)已知为等比数列，对于任意，若，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及其前项和． 9．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 10．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 11．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 12．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 13．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 14．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·四川成都·校联考一模）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 2．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）在递增的等比数列中，若，，则公比（    ） A． B． C．2 D． 3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，若存在，使得，则的最小值为（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 4．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（    ） A．900 B．1200 C． D． 5．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A．为递增数列 B． C．是数列中的最大项 D． 6．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广东佛山·统考一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，若，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 10．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知正项等比数列，若，则（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 二、填空题 11．（2023·全国·模拟预测）“康托尔尘埃”具有典型的分形特征，其生成过程如下：在单位正方形中，首先将正方形等分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之和为；然后将保留的4个小正方形分别继续9等分，继续分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为；以此类推．若操作过程不断进行n次，则 ． 12．（2023·四川成都·统考二模）在数列中，，，，则 . 13．（2023·四川成都·统考二模）在数列中，，，若（其中），则 . 14．（2023·四川宜宾·