专题 二次函数压轴训练题（四）---菱形、正方形存在性问题-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级下册数学《第5章 二次函数》 专题 二次函数压轴训练题（四） ------菱形、正方形存在性问题 ★★★方法指引： ◎菱形的存在性问题(常为含 60”角的菱形) 通常有两大类: 1、已知三人定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两人定点确定线段为要探究的券形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形: 2、已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形: 3、计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解 ◎正方形存在性问题 正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 题型一 二次函数菱形存在性问题 【典例1】（2022春•盱眙县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为 　　 ； （3）当▱CPBD是菱形时，求m的值． 【变式1-1】如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，D两点，与y轴交于点C，点B为抛物线的顶点． （1）求抛物线的对称轴及点B的坐标； （2）若抛物线上存在一点E，使得S△EAB＝S△CAD，求点E的坐标； （3）若平面直角坐标系内存在动点P，抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2022秋•代县月考）如图，抛物线yx2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l． （1）求点A，B，C的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点E，使OE＝EC，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点F在直线l上运动，点G在平面内运动，若以点B，C，F，G为顶点的四边形是菱形，且BC为边，直接写出点F的坐标． 【变式1-3】（2022•抚顺县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标； （3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-4】已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（2023•鹤山市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为yx﹣2． （1）求抛物线的解析式； （2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n，求k的值； （3）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-6】（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． （3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且OA＝1，OC＝4． （1）求抛物线解析式； （2）在该抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存