专题 二次函数压轴训练题（三）---平行四边形存在性问题-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级下册数学《第5章 二次函数》 专题 二次函数压轴训练题（三） ------平行四边形、矩形存在性问题 题型一 二次函数平行四边形存在性问题 ★★★方法指引： 解决二次函数平行四边形存在性问题的方法： 1、设▱ABCD的顶点坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），（xC，yC），（xD，yD），则xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD.（即AC、BD的中点重合） 2、有两种类型：（1）“三定一动”；（2）“两定两动”. 3、求“三定一动”的平行四边形存在性问题的一般方法： （1）设第4个点的坐标； （2）以3个定点组成的3 条线段为对角线分类讨论； （3）以中心对称图形的性质为等量关系列式求解. 也可以通过平移的方法来求点的坐标. 4、求“两定两动”的平行四边形存在性问题的一般方法： （1）连接两定点得定线段，考虑①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标. （2）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证. 【典例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC、CD、DA，试判断△ACD的形状，并说明理由； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】已知抛物线L1与x轴交于A、B两点，点A在点B左边，AB＝4，顶点C坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线L1的关系式； （2）记L1关于x轴上一点M对称的抛物线为L2，L2的顶点为D，L2与x轴的交点记为E，F，其中点E为点A的对应点，若以A、C、D、E为顶点的四边形是矩形，求出点M的坐标以及抛物线L2的解析式． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C． （1）求抛物线与直线AC的函数解析式； （2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值． （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-3】如图所示，抛物线yx2+bx+c经过B（3，0）、D（﹣2，﹣2.5）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，求四边形BOCM的面积； （3）若点Q在y轴上，点P在抛物线上，是否存在以点A、B、P、Q为顶点的平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【变式1-4】（2023•东莞市校级一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式． （2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP的周长最小？若存在，求出点P的坐标和△ACP的周长的最小值，若不存在，请说明理由． （3）点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标． 【变式1-5】（2023•太原二模）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点D在第一象限，且△BCD≌△BCA，求点D的坐标； （3）点A绕抛物线的对称轴l上一点P顺时针旋转90°恰好与点C重合，将△ACP沿x轴平移得到△A′C′P′，点A，C，P的对应点分别为点A′，C′，P′．在抛物线上是否存在点E，使得以A′，C′，P′，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-6】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）则过A，B，C三点的抛物线的解析式为 ； （2）已知直线y＝x﹣1与抛物线交于点A，D，直线BE交AD于点E． ①若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标； ②P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-7】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（﹣