专题 二次函数压轴训练题（二）---等腰三角形存在性问题-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级下册数学《第5章 二次函数》 专题 二次函数压轴训练题（二） ------等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形存在性问题 题型一 等腰三角形存在性问题 ★★★方法指引： 解决二次函数等腰三角形存在性问题的方法： 1、弄清题意，若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，则有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况； 2、借助动点所在图形的解析式，表示出动点坐标； 3、按分类的情况，利用几何知识建立方程（组），求出动点坐标，注意舍去不符合题意的点. 【典例1】（2023•双柏县模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），点B的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以AM为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2022•雁塔区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E为线段AC上一动点，过点E的直线EF平行于y轴并交抛物线于点F，当线段EF最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以EB为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M（0，﹣8），与x轴交于A、B（4，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若将该抛物线沿着x轴向左平移4个单位，新抛物线顶点为点D，与x轴交于A1，B1两点（点B1在A1的左边）若点Q是y轴上一动点，当点Q，D，A1构成等腰三角形时，请求出点Q的坐标． 【变式1-3】如图，已知抛物线yx+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，其顶点为（1，﹣4），直接y＝x﹣2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）若PE＝3EF，求m的值； （3）连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（2023•扎兰屯市三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【变式1-6】（2022秋•代县期末）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC． （1）求抛物线和直线BC的函数解析式． （2）D是直线BC上方抛物线上一点，求△BDC面积的最大值及此时点D的坐标． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-7】（2023•潮阳区二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． ​ （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1-8】如图，抛物线yx2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接PB，PC． （1）求抛物线的对称轴及b，c的值； （2）当四边形OBPC的面积等于11时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二 直角三角形存在性问题 ★★★方法指引： 解