北京市第六十五中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

2024届高三12月月考数学试卷 考试时间120分钟 满分150分 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 已知全集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是． A. B. C. D. 3. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的公差，且，则数列的前n项和取得最大值时的项数n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 5或6 D. 6或7 8. 已知a.b.c分别是的内角A､B､C的对边，若，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 9. 设向量，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 10. 如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共25分．） 11. 抛物线的焦点的坐标为__________. 12. 已知复数，则复数z的虚部为______，______． 13. 如图，正方形ABCD的边长为2，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．则第4个正方形的面积是________________；从正方形ABCD开始，连续8个正方形面积之和是_________________． 14. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；的面积的最大值为_____________． 15. 长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________． 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16. 直三棱柱中，点M、N分别为、中点． （1）求证：平面； （2）已知，，． （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离． 17. 某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 x 0 0 （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的最大值和最小值． 18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学 专科 大学 本科 硕士 研究生 博士 研究生 男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01 女 0.01 0.04 0.11 011 0.08 0.12 0.03 0.00 合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01 （1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率； （2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、