专题09 涉及对数复合型函数的单调性问题（期末大题5）-2023-2024学年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习（人教A版2019必修第一册）

专题09 涉及对数复合型函数的单调性问题（期末大题5） （原卷版） 题型 涉及对数复合型函数的单调性问题 若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 解决此类问题遵循以下步骤： 第一步：求函数的定义域 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 第四步：利用结论同增异减判断. 模型1：已知函数． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）若存在单调递增区间，求的取值范围． 破解：（1）当时，， 第一步：求函数的定义域 由，得，得， 即的函数的定义域为， 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 设，， 则是开口向下，且对称轴为的二次函数， 所以其在上单调递增，在上单调递减； 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 又显然是增函数， 第四步：利用结论同增异减判断. 所以求的单调减区间，等价为求，的单调递减区间， 因为，的单调递减区间为， ∴的单调递减区间为． （2）若存在单调递增区间， 则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或（舍） 当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立， 综上实数的取值范围是． 模型2：已知． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的最大值，并求取得最大值时的x的值． 破解：（1）由得， 第一步：求函数的定义域 ，解得，即定义域为； 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 令，知时，单调递增， 时，单调递减， 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 ∴由是单调递增函数， 第四步：利用结论同增异减判断. 根据复合函数同增异减的性质知： 在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为；单调递减区间为； （2）由（1）知当取最大时取最大， ∴当时，，∴． 1．已知函数，若，求的单调区间. 2．已知． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求的单调区间． 3．设（且）. (1)若，求实数的值及函数的定义域； (2)若，求函数的值域. 4．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集. 5．已知函数为奇函数． (1)求常数k的值； (2)判断函数在上的单调性． 6．已知函数． (1)求函数的单调区间; (2)当时，求不等式的解集． 7．已知函数. (1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域. 8．已知函数，（，且）， (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)讨论函数的单调性. 9．已知函数． (1)若，求函数的定义域； (2)若，求函数的单调区间． 10．已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若，求的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间． 11．已知函数(且)． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性． 12．已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域； (3)判断函数在区间上的单调性，并简要说明你的结论． 13．已知函数. （1）判断函数在上的单调性; （2）解不等式:. 14．已求函数的单调区间. 15．求函数单调区间. 16．设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2． （1）求a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）的单调增区间. 17．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 18．求函数的单调区间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 涉及对数复合型函数的单调性问题（期末大题5） （解析版） 题型 涉及对数复合型函数的单调性问题 若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 解决此类问题遵循以下步骤： 第一步：求函数的定义域 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 第四步：利用结论同增异减判断. 模型1：已知函数． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）若存在单调递增区间，求的取值范围． 破解：（1）当时，， 第一步：求函数的定义域 由，得，得， 即的函数的定义域为， 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 设，， 则是开口向下，且对称轴为的二次函数， 所以其在上单调递增，在上单调递减； 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 又显然是增函数， 第四步：利用结论同增异减判断. 所以求的单调减区间，等价为求，的单调递减区间， 因为，的单调递减区间为， ∴的单调递减区间为． （2）若存在单调递增区间， 则当，则函数存在单调递增