4.2.1等差数列的概念课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.1等差数列的概念（1） 我们知道，数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用。下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。 【学习目标】 (1)经历等差数列概念的形成过程，能够描述等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列； (2)学会利用等差数列的定义推导等差中项； (3)理解等差数列通项公式的推导过程，并会应用其解决相关问题； (4)通过对比等差数列与一元一次函数，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性. 任务一：创设情境，引入等差数列概念 观察下面几个实例： 1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为： 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ① 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是： 38,40,42,44,46,48 ② 3.某地从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为： 25.0,24.4,23.8,23.2,22.6 ③ 4.某人向银行贷款a万元，如果个人贷款利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为： ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，… ④ ① 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ② 38，40，42，44，46，48. ③ 25，24，23，22，21. ④ ar, ar-br, ar-2br, ar-3br…… 如果用{an}表示数列① ， 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 对于实例1 ，我们发现： 18-9=9，27-18=9....81-72=9. 2.邻项比较，归纳发现 1.抽象概括，建立模型 问：②-④也有相同的取值规律吗？你可以用{an}表示一下吗？ 那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9. 等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，就称这个数列为等差数列，这个常数就称为等差数列的公差，用d来表示。 追问1：①-④中的首项和公差分别是什么？ 追问2：公差可以是0吗？公差的取值范围是什么？ 追问3：能否用符号语言表示等差数列的定义？ 等差数列的符号语言： an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*) 概念辨析 练习: 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差. （1） 95，82，69，56，43，30 ; （2） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111; （3） 1，－2，3，－4，5，－6; （4） 1, , , , . 注意： 1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数. 2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0. 任务二：等差中项 问：观察如下几组数，在两数中插入什么数后，三个数就会成为一个等差数列？ ①2， ，4；②-1， ，5；③0， ，0；④a， ，b 追问1：第2项与第1项，第2项与第3项之间的关系是什么？ 追问2：对于④，设在a，b中插入数A，如何将A用a，b来表示？ 可以设插入的数为x，既然这组数列是等差数列，一定会有x-2=4-x，所以2x=4+2，即x=3。其它数列以此类推。 设插入的数为A，既然这组数列是等差数列，一定会有A-a=b-A，所以2A=a+b，即A= A叫做a与b的等差中项 任务三：归纳猜想，探究等差数列通项公式 设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得 an+1－an = d 于是 a2= a1＋d， a3=