广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷

肇庆市第一中学2023-2024学年高二开学考数学试卷 一、单选题 1.已知复数满足(其中为虚数单位),则的共轭复数( ) A. B. C. D. 2.已知平面向量,.若,则( ) A. B. C. D. 3.已知非零向量满足且,则与的夹角为( ) A. B. C. D. 4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8,则此圆锥的高是( ) A. B. C. D. 5.已知圆锥的高为,母线长为,则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 6.在中,角的对边分别为已知,且,点O满足,,则的面积为( ) A. B. C. D. 7.设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 8.已知三棱锥的高为1,底面为等边三角形,,且P,A,B,C都在体积为的球O的表面上,则该三棱锥的底面的边长为( ) A. B. C.3 D. 二、多选题 9.若复数,则( ) A.z的实部与虚部之差为3 B. C. D.z在复平面内对应的点位于第四象限 10.设m,n是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列结论正确的是( ) A.若m⊥ ,n⊥ ,则m∥n B.若m∥n,m∥ ,则n∥ C.若m⊂ ,n⊂ ,则m,n是异面直线 D.若 ∥ ,m⊂ ,n⊂ ,则m∥n或m,n是异面直线 11.小明与小华两人玩游戏,则下列游戏公平的有( ) A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数,小明获胜,向上的点数为偶数,小华获胜 B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,小明获胜,两枚都正面向上,小华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,小明获胜,扑克牌是黑色,小华获胜 D.小明､小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同,小明获胜,否则小华获胜 12.在中,内角所对的边分别为a、b、c,则下列说法正确的是( ) A. B.若,则 C. D.若,且,则为等边三角形 三、填空题 13.山顶上有一座信号发射塔,塔高0.2千米,山脚下有,,三个观测点,它们两两之间的距离分别为千米,千米,千米,从这三个观测点望塔尖的仰角均为60 ,则山高为 千米. 14.已知向量、、,且,,,,则的最小值为 . 15.已知的面积为S,且,则 . 16.在中,是边上的高,且,又满足,,则的长为 . 四、解答题 17.已知. (1)若向量,求的值; (2)若向量,证明:. 18.如图,在四边形ABCD中, BCD是等腰直角三角形,∠BCD=90 ,∠ADB=90 ,,BD=2,AC与BD交于点E. (1)求sin∠ACD; (2)求 ABE的面积. 19.某车站在春运期间为了了解旅客购票情况,随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时,单位为min),下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图(如图所示). 分组 频数 频率 一组0≤t<5 0 0 二组5≤t<10 10 0.10 三组10≤t<15 10 ② 四组15≤t<20 ① 0.50 五组20≤t≤25 30 0.30 合计 100 1.00 解答下列问题: (1)这次抽样的样本容量是多少? (2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图; (3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组? 20.的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围. 21.如图,正方体的棱长为4,点为棱、的中点. (1)求证:平面; (2)求点到平面的距离. 22.如图,在三棱锥中,平面, 是直角三角形,,,,点、、分别为、、的中点. (1)求证:; (2)求直线与平面所成的角的正弦值; (3)求二面角的正切值. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 答案 1.A 解:,则. 2.D 解:因为向量,且, 所以, 解得:t=. 3.D 解: , ,与的夹角为, 4.C 解:设圆锥的高与底面半径分别为、, 则,, 联立,解得,, 5.B 解:如图是圆锥的轴截面, 由题意母线,高, 则,是锐角, 所以,于是得轴截面顶角, 设截面三角形的顶角为,则过此圆锥顶点的截面面积, 当两条母线夹角为时,截面面积为为所求面积最大值, 6.D 解: 如图所示, ∵,所以O为的重心, 连AO并延长交BC与E,则E为BC的中点,延长AE至F,使,连BF,CF, 则四边形ABFC为平行四边形, ,, , 即,又因为,所以, ∴,, 设,则, 在中由余弦定理得, 即,解得,即. 又, ∴. 7.B 解:因为, 所以由正弦定理可得, , 所以,所以是直角三角形. 8.C 解:设球的半径为,由球的体积为可得,,解得. 因为三棱锥的高为1,所以球心在三棱锥外. 如图