专题02 一元二次函数、方程和不等式-2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019必修第一册）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 4 【重点保分一】作差（商）比较大小 4 【重点保分二】利用性质证明简单不等式 7 【重点保分三】一元二次不等式解法 10 【重点保分四】一元二次方程根的分布 13 【重点保分五】基本不等式与最值 16 【重点保分六】巧用“1”的代换求最值 19 【难点增分】 22 【难点增分一】二次函数综合应用 22 【难点增分二】含参一元二次不等式 24 【难点增分三】利用基本不等式求参数的值（范围） 27 【培优满分】 30 【培优满分一】三个“二次”之间的关系 30 【培优满分二】不等式恒成立问题 33 【技巧总结】 37 【单元检测】 40 知识梳理 1、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 2、两个实数的大小关系 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 3、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 5、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b⇒＝；②仅当a＝b时取等号，即＝⇒a＝b. (4)基本不等式可变形为a＋b≥2，ab≤. 6、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 7、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 8、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   9、简单的分式不等式的解法 10、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 重点保分 【重点保分一】作差（商）比较大小 【典例精讲】（多选）（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【变式训练】 一、单选题 1．（2023上·山东青岛·高一青岛三十九中校考期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 2．（2020上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考开学考试）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油