27.4 正多边形和圆 2023-2024学年华东师大版数学九年级下册

27.4 正多边形和圆 第27章 圆 逐点 学练 本节小结 作业提升 本节要点 1 学习流程 2 正多边形 正多边形的有关计算 正多边形的画法 学习目标 知识点 正多边形 1 1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 特别解读 “各边相等，各角相等”是正多边形的两个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，缺一不可，否则多边形就不是正多边形. 感悟新知 2. 圆的内接正n 边形 把圆分成n(n ≥ 3)等份，依次连结各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n 边形，这个圆就是这个正n 边形的外接圆. 感悟新知 3. 正多边形的有关概念 (1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. (2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. (4)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 感悟新知 4. 正多边形的对称性 任意多边形(边数大于3)不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 感悟新知 拓宽视野 1. 任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆. 2. 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心. n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 感悟新知 例 1 如图27.4-1，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. 感悟新知 解题秘方：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明. 感悟新知 证明：∵三角形AOB 是正三角形， ∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上. ∵ FC ∥ AB， ∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB= ∠ OBA=60°. ∴ ∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF= ∠ FOA=60° .∴AB = BC = CD = DE = EF = FA . ∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 感悟新知 解法提醒：证明一个多边形是圆内接正多边形的方法 1. 利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等；2. 证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆. 感悟新知 1-1. 下列图形：(1)正三角形；(2)正方形；(3)正五边形；(4)正六边形；(5)线段；(6)圆；(7)菱形；(8)平行四边形. 其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是______________(填序号) (2)(4)(5)(6)(7) 感悟新知 1-2. 若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定 C 感悟新知 知识点 正多边形的有关计算 2 1. 正n 边形的每个内角都等于 . 2. 正n 边形的每个中心角都等于 . 3. 正n 边形的每个外角都等于. 感悟新知 4. 设正n 边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： (1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+2； (2)周长l=na； (3)面积S=ar·n=lr. 感悟新知 特别提醒 常见的正多边形的边长与半径的关系： 1. 正六边形的边长等于其外接圆半径. 2. 正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍. 3. 正方形的边长等于其外接圆半径的倍. 感悟新知 已知正六边形ABCDEF 的半径为6，求这个正六边形 的边长a6，周长l6 和面积S6. 例2 解题秘方：巧用正六边形的边长、半径等关系进行计算. 感悟新知 解：如图27.4-2，设正六边形ABCDEF的中心为点O，过点O 作OG ⊥ AB 于点G，连结OA，OB. 感悟新知 ∵∠ AOB= =60°，OA=OB， ∴∠ AOG=30°. ∴ AG= AO=3. ∴ a6=AB=2AG=6. ∴ l6=6a6=6×6=36. 在Rt △ AOG 中，OG= = =3 ， ∴ S6=×AB×OG×6=×6×3 ×6=54 . 感悟新知 解法技巧：构造特殊三角形解正多边形的方法 在解决有关正六边形和正方形的计算时，我们往往作相邻两条半径使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形，然后与前面学过的勾股定理、垂径定理及切线的性质等知识联系起来综合求解. 感悟新知 2-1. [中考·沈阳] 如图，正六边