27.2.3 切线 2023-2024学年华东师大版数学九年级下册

27.2 与圆有关的位置关系 第27章 圆 27.2.3 切线 逐点 学练 本节小结 作业提升 本节要点 1 学习流程 2 切线的判定定理 切线的性质定理 切线长定理 三角形的内切圆 学习目标 知识点 切线的判定定理 1 1. 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 特别解读 切线必须同时具备两个条件： 1.直线过半径的外端; 2.直线垂直于这条半径. 感悟新知 2. 切线的判定方法： (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)数量法：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)判定定理法：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 感悟新知 例 1 如图27.2-17，已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4，点C在线段AB 的延长线上，点D 在⊙ O 上，连结CD，且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线. 感悟新知 解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”判定圆的切线. 证明：如图27.2-17，连结OD. 由题意可知CD=OD=OA= AB=2. ∵ OC=2，∴ OD2+CD2=OC2. ∴∠ ODC=90°，即OD ⊥ CD. 又∵点D 在⊙ O 上，∴ CD 是⊙ O 的切线. 感悟新知 1-1. 如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，那么CD 与⊙ O 的位置关系是( ) 相交 相离 相切 相交或相切 C 感悟新知 如图27.2-18，在Rt △ ABC 中，∠ B=90°，∠ BAC 的平分线交BC 于点D，以点D 为圆心，DB 长为半径作⊙ D. 求证：AC 与⊙ D 相切. 例2 感悟新知 解题秘方：利用“无切点，作垂直，证半径”判定圆的切线. 证明：如图27.2-18，过点D 作DF ⊥ AC于点F. ∵∠ B=90°，∴ DB ⊥ AB. 又∵ AD 平分∠ BAC，∴ DF=DB. ∴ AC 与⊙ D 相切. 感悟新知 2-1. 如图，在Rt △ ABC中， ∠ ABC=90 °， 点O 在AB 上，AD ⊥ CO交CO 的延长线于点D，∠ DAO= ∠ACO， 以点O 为圆心，OB 为半径作圆． 感悟新知 (1)求证：AC 是⊙ O的切线； 证明：如图，作OE⊥AC，垂足为E， ∵AD⊥CO，∴∠ADO＝90°， ∴∠ADO＝∠ABC＝90°， ∵∠AOD＝∠BOC，∴∠DAO＝∠BCO. ∵∠DAO＝∠ACO，∴∠BCO＝∠ACO. ∵OB⊥BC，OE⊥AC，∴OE＝OB， ∵OB是半径，∴AC是⊙O的切线. 感悟新知 (2)已知CB=6，AB=8，求OC 的长. 解：∵∠OBC＝∠OEC，∠BCO＝∠ACO，OC＝OC， ∴△OBC≌△OEC，∴BC＝EC＝6. 感悟新知 感悟新知 知识点 切线的性质定理 2 1. 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 2. 切线的性质 (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于半径. (3)圆的切线垂直于过切点的半径. (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用). (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用). 感悟新知 特别提醒 切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用.它们是一个互逆的过程，不要混淆. 感悟新知 如图27.2-19，AB 为⊙ O 的直径，PD 切⊙ O 于点C，交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD. 例 3 感悟新知 (1)求∠ D 的度数. 解题秘方：利用“等半径”得等腰三角形。 解：如图27.2-19，连结OC. ∵ AO=CO，∴∠ OAC= ∠ ACO. ∴∠ COD=2 ∠ CAD. 又∵∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠ COD. ∵ PD 切⊙ O 于点C， ∴ OC ⊥ PD，即∠ OCD=90° . ∴∠ D=45° . 感悟新知 (2)若CD=2，求BD 的长. 解：由(1)可知△ OCD 是等腰直角三角形. ∴ OC=CD=2. 由勾股定理，得OD= = =2， ∴ BD=OD－OB=2－2. 解题秘方：利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形，再结合相关性质求解. 感悟新知 3-1. [中考· 泰安] 如图， 在△ ABC 中，∠ B=90 °， ⊙ O 过点A，C， 与AB 交于点D，与BC 相切于点C， 若∠A=32 °， 则∠ ADO=_______. 64° 感悟新知 如图27.2-20，已知BC 是⊙ O 的直径，AC 切⊙O于点C，AB 交⊙ O 于点D，E 为AC 的中点，连结DE. 例4 感悟新知 (1)若